문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어·기호:
gcd(A, B) = 최대공약수 (영문 greatest common divisor의 약자) ·
$d \mid n$ = "$d$는 $n$의 약수" (정수론에서 쓰는 짧은 기호)
유형 7 · H2
세 자연수 $A$, $B$, $C$에 대해 다음이 성립합니다.
$$\gcd(A,B)=6,\quad \gcd(B,C)=10,\quad \gcd(A,C)=15$$
이때 $\gcd(A,B,C)$ (= 세 수의 최대공약수)를 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
종이에 $\gcd(A,B,C)$가 무엇을 의미하는지 적어보세요. $A$, $B$, $C$의 어떤 성질일까요? 막연하다면 다음 페이지로 넘어가요.
1단계 · Page 1
$\gcd(A,B,C)$가 뭐였더라?
왜 이 단계? — 구해야 할 대상의 정의부터 명확히. 그래야 어떻게 접근할지 보입니다.
📖 용어·기호:
gcd(A, B) = 최대공약수 (영문 greatest common divisor의 약자) ·
$d \mid n$ = "$d$는 $n$의 약수"
정의 복습 — 최대공약수
$\gcd(A,B,C)$, 즉 세 수의 최대공약수는
"$A$, $B$, $C$를 모두 나누는 자연수" 중 가장 큰 것이에요.
$\gcd(A,B,C) = d$ ⟺ $d$는 $A$, $B$, $C$ 모두의 약수이고, 그런 약수 중 가장 큰 수
우리가 가진 정보
문제는 두 수씩의 최대공약수만 알려줘요:
$\gcd(A,B) = 6$ $\gcd(B,C) = 10$ $\gcd(A,C) = 15$
세 수씩의 최대공약수는 직접 알려주지 않아요. 그럼 어떻게 끌어내야 할까요?
🤔 다음 단계 힌트
$d = \gcd(A,B,C)$라 두면, $d$는 $A$도 나누고, $B$도 나누고, $C$도 나눠요. 그럼 $d$와 $\gcd(A,B)$의 관계는?
2단계 · Page 2
핵심 관찰 — $d$는 어떤 수들의 약수?
왜 이 단계? — 정의에서 자연스럽게 끌어낼 수 있는 관찰. 이게 풀이의 열쇠가 됩니다.
📖 용어·기호:
gcd = 최대공약수 ·
$d \mid n$ = "$d$는 $n$의 약수"라는 짧은 표기.
예: $3 \mid 12$ 는 "3은 12의 약수"라는 뜻.
관찰 1 — 공약수는 최대공약수의 약수
$d = \gcd(A,B,C)$가 $A$도 나누고 $B$도 나누면,
$d$는 $A$와 $B$의 공약수이고,
따라서 $d$는 $\gcd(A,B)$의 약수예요.
$d$가 $A$의 약수이고 $d$가 $B$의 약수 ⟹ $d$는 $\gcd(A,B)$의 약수
기호로 짧게: $d \mid A$ 이고 $d \mid B$ ⟹ $d \mid \gcd(A,B)$
(이 사실은 매우 자주 쓰여요. "공약수는 모두 최대공약수의 약수"라는 성질.)
관찰 2 — 세 쌍 모두에 적용
같은 논리를 세 쌍 $(A,B), (B,C), (A,C)$ 모두에 적용:
$d$는 $\gcd(A,B) = 6$의 약수
$d$는 $\gcd(B,C) = 10$의 약수
$d$는 $\gcd(A,C) = 15$의 약수
즉, $d$는 $6$, $10$, $15$ 세 수 모두의 약수!
결론
"$d$가 세 수 모두의 약수"라는 것은 곧 "$d$는 그 세 수의 공약수"라는 뜻. 그러면 다시 관찰 1을 적용해서:
$d = \gcd(A,B,C)$ 는 $\gcd(6, 10, 15)$의 약수
그리고 사실 $d$의 가장 큰 후보가 바로 $\gcd(6, 10, 15)$예요. 이제 그 값을 계산하면 끝!
3단계 · Page 3
$\gcd(6, 10, 15)$를 계산해요
왜 이 단계? — 이제 우리가 아는 최대공약수 계산법(소인수분해)을 그대로 적용.
📖 용어:
gcd = 최대공약수
소인수분해
$6 = 2 \times 3$
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
공통 소인수 찾기
세 수 모두에 공통으로 등장하는 소인수는?
$2$: $6$과 $10$엔 있지만 $15$엔 없음 → 공통 아님
$3$: $6$과 $15$엔 있지만 $10$엔 없음 → 공통 아님
$5$: $10$과 $15$엔 있지만 $6$엔 없음 → 공통 아님
세 수 모두 공통인 소인수가 하나도 없어요.
⚠️ 흔한 실수
"공통 소인수가 없으니 GCD가 0?" — 아니에요! 공약수에는 항상 1이 있어요. 그래서 공통 소인수가 없으면 $\gcd = 1$.
4단계 · Page 4
답을 확정합니다
왜 이 단계? — 2단계에서 "$d$는 $\gcd(6,10,15)$의 약수"라고 했어요. 그 값이 1로 나왔으니 마무리.
📖 용어:
gcd = 최대공약수
정리
2단계에서 얻은 결론:
$d = \gcd(A, B, C)$ 는 $\gcd(6, 10, 15) = 1$의 약수
그런데 1의 약수는 1뿐이에요 (1을 나누는 자연수는 자기 자신밖에 없으니까).
$d$가 $1$의 약수 ⟹ $d = 1$
💡 큰 그림
세 수씩 GCD를 직접 안 알려줘도, 두 수씩 GCD들($6, 10, 15$)에서 추론할 수 있다는 게 이 문제의 핵심이에요.
세 GCD 값에 공통 소인수가 하나도 없으면, 세 수 전체의 GCD는 항상 $1$.
⚠️ 이 유형의 함정
$\gcd(6, 10, 15)$를 계산하지 않고 "그냥 6, 10, 15 중 작은 거?" 라고 답하면 틀려요. $\gcd$를 다시 계산해야 합니다.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 다시 확인:
gcd = 최대공약수 (영문 greatest common divisor) ·
$d \mid n$ = "$d$는 $n$의 약수"
$\gcd(A, B, C) = 1$
(세 수의 최대공약수 = 1)
전체 풀이 흐름 — 5단계
1
$\gcd(A,B,C) = d$는 $A,B,C$를 모두 나누는 가장 큰 자연수 (= 세 수의 최대공약수) — 정의 복습
2
$d$는 $A$도 $B$도 나누므로 $d$는 $\gcd(A,B)$의 약수. 같은 식으로 $\gcd(B,C)$, $\gcd(A,C)$의 약수
3
즉 $d$는 $\gcd(6, 10, 15)$의 약수
4
$\gcd(6, 10, 15)$ 계산: $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$ — 세 수 공통 소인수 없음 → $\gcd = 1$
5
$d$가 $1$의 약수이므로 $d = 1$, 즉 $\gcd(A,B,C) = 1$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"세 수 GCD"는 "두 수씩 GCD"로부터 직접 계산할 수 있다는 것 — 두 수씩 GCD들의 GCD를 다시 구하면 돼요. 처음 보면 막막하지만 정의에서 출발하면 자연스럽게 끌려나옵니다.