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깊이 탐구 · GCD · LCM · 관계식

최대공약수 · 최소공배수 완전 이해

헷갈리는 이유 파악 → 전략 → L·M·H 심화 문제

🤔 왜 자꾸 틀릴까?

1. 소인수분해 방법: 공통 소인수에서 작은 지수를 고른다 — LCM과 반대라서 헷갈림
2. 세 수 GCD: 두 수씩 따로 구하는 것과 한꺼번에 구하는 것을 혼동
3. 실생활 응용: "최대 크기로 나누기" 문제를 LCM으로 풀어버리는 실수

💡 핵심 전략

소인수분해법: 공통 소인수 × 작은 지수

예) $36 = 2^2 \times 3^2$, $\;48 = 2^4 \times 3$
공통 소인수: 2, 3
작은 지수: $2^{\min(2,4)} \times 3^{\min(2,1)} = 2^2 \times 3 = 12$
→ $\gcd(36, 48) = 12$

기억 공식: GCD = "겹치는 것만, 작은 것으로"

와
결과가 여기에 나와요

✏️ 심화 문제 — L · M · H

L $\gcd(18,\,24)$를 소인수분해 방법으로 구하세요.
$18 = 2 \times 3^2$, $\;24 = 2^3 \times 3$
공통 소인수는 2와 3이에요.
6
$18 = 2^1 \times 3^2$, $\;24 = 2^3 \times 3^1$
공통: $2^{\min(1,3)} \times 3^{\min(2,1)} = 2^1 \times 3^1 = 6$
L $\gcd(30,\,42)$를 구하고, 30과 42의 공약수를 모두 쓰세요.
공약수 = GCD의 약수예요.
GCD = 6, 공약수: 1, 2, 3, 6
$30 = 2 \times 3 \times 5$, $\;42 = 2 \times 3 \times 7$
$\gcd = 2 \times 3 = 6$
공약수 = 6의 약수 = 1, 2, 3, 6
M $\gcd(12,\,18,\,30)$을 구하세요.
세 수를 모두 소인수분해 → 세 수 모두에 공통인 소인수, 가장 작은 지수를 선택해요.
6
$12 = 2^2 \times 3$, $\;18 = 2 \times 3^2$, $\;30 = 2 \times 3 \times 5$
세 수 공통 소인수: 2, 3
최솟값: $2^{\min(2,1,1)} \times 3^{\min(1,2,1)} = 2 \times 3 = 6$
M 가로 72 cm, 세로 48 cm인 직사각형 방 바닥을 정사각형 타일로 빈틈없이 채우려고 합니다. 타일 한 변의 최대 길이는 몇 cm인가요?
"최대 크기로 나눈다" = GCD 문제예요.
24 cm
$72 = 2^3 \times 3^2$, $\;48 = 2^4 \times 3$
$\gcd(72, 48) = 2^3 \times 3 = 24$
타일 한 변 = 24 cm → 가로 3개, 세로 2개
H 세 수 $36k$, $48k$, $60k$의 최대공약수가 24일 때, 자연수 $k$를 구하세요.
$\gcd(36k, 48k, 60k) = k \times \gcd(36, 48, 60)$
먼저 $\gcd(36, 48, 60)$을 구해봐요.
k = 2
$36 = 2^2 \times 3^2$, $\;48 = 2^4 \times 3$, $\;60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$\gcd(36, 48, 60) = 2^2 \times 3 = 12$
$\gcd(36k, 48k, 60k) = 12k = 24$
$\therefore k = 2$

⚠️ 자주 하는 실수

GCD vs LCM 혼동: GCD는 공통 소인수에서 작은 지수, LCM은 큰 지수예요. 둘이 반대!
실생활 응용 혼동: "최대 크기로 나누기" → GCD / "최소 시간·길이 맞추기" → LCM

🔗 연결 개념

공약수 = GCD의 약수 서로소 (GCD = 1) GCD × LCM = A × B 유클리드 호제법

🤔 왜 자꾸 틀릴까?

1. GCD와 반대 규칙: 공통이든 아니든 큰 지수를 선택 — GCD 방법과 반대라서 헷갈림
2. 세 수 LCM: 두 수씩 따로 구하면 오류 발생 가능 (소인수분해 한꺼번에가 더 안전)
3. 주기 응용: "동시에 만나는 시각" = LCM, "최대 크기로 나누기" = GCD — 실생활 문제에서 헷갈림

💡 핵심 전략

소인수분해법: 모든 소인수 × 큰 지수

예) $12 = 2^2 \times 3$, $\;18 = 2 \times 3^2$
등장한 소인수: 2, 3
큰 지수: $2^{\max(2,1)} \times 3^{\max(1,2)} = 2^2 \times 3^2 = 36$
→ $\text{lcm}(12, 18) = 36$

기억 공식: LCM = "다 모으고, 큰 것으로"

와
결과가 여기에 나와요

✏️ 심화 문제 — L · M · H

L $\text{lcm}(8,\,12)$를 소인수분해 방법으로 구하세요.
$8 = 2^3$, $\;12 = 2^2 \times 3$
등장한 소인수: 2, 3
24
$8 = 2^3$, $\;12 = 2^2 \times 3$
$\text{lcm} = 2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(0,1)} = 2^3 \times 3 = 24$
L $\text{lcm}(6,\,10)$을 구하고, 6과 10의 공배수를 3개 쓰세요.
공배수 = LCM의 배수예요.
LCM = 30, 공배수: 30, 60, 90
$6 = 2 \times 3$, $\;10 = 2 \times 5$
$\text{lcm} = 2 \times 3 \times 5 = 30$
공배수 = 30의 배수: 30, 60, 90, …
M $\text{lcm}(4,\,6,\,10)$을 구하세요.
세 수를 소인수분해: $4=2^2$, $6=2\times3$, $10=2\times5$
등장한 소인수: 2, 3, 5
60
$4=2^2,\;6=2\times3,\;10=2\times5$
$\text{lcm} = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$
M 버스 A는 6분마다, 버스 B는 9분마다 출발합니다. 오전 8시에 두 버스가 동시에 출발했다면, 다음으로 동시에 출발하는 시각은 언제인가요?
"함께 만나는 최소 시간" = LCM이에요.
오전 8시 18분
$\text{lcm}(6, 9) = 18$ 분
오전 8:00 + 18분 = 8시 18분
H 두 자연수의 비가 $3:7$이고 최소공배수가 168일 때, 두 수를 구하세요.
두 수를 $3k$, $7k$로 놓아봐요 (3과 7은 서로소이므로 $\gcd(3k,7k)=k$).
24와 56
두 수를 $3k$, $7k$ ($k$: 자연수)
$\gcd(3k, 7k) = k$ (3과 7은 서로소)
$\text{lcm}(3k, 7k) = k \times 3 \times 7 = 21k = 168$
$k = 8$
두 수: $3\times8=24$, $7\times8=56$
검증: $\text{lcm}(24,56) = ?$ → $24=2^3\times3$, $56=2^3\times7$ → $2^3\times3\times7=168$ ✓

⚠️ 자주 하는 실수

지수 선택 반대: LCM에서 작은 지수를 고르면 GCD가 됩니다. 항상 큰 지수!
세 수 LCM: 두 수씩 따로 구하면 틀릴 수 있어요. 소인수분해로 한꺼번에 구하는 게 안전해요.

🔗 연결 개념

공배수 = LCM의 배수 주기 문제 (동시 발생) GCD × LCM = A × B 분수의 통분

🤔 왜 자꾸 틀릴까?

1. 관계식 공식을 외웠는데 왜 성립하는지 모름 → 역방향 문제에서 막힘
2. 두 수 쌍 구하기: 조건을 만족하는 쌍이 여러 개일 때 전부 찾지 못함
3. 조건 체크 누락: GCD가 주어진 경우, 두 수가 반드시 GCD의 배수여야 한다는 것을 빠뜨림

💡 핵심 전략: $A \times B = \gcd(A,B) \times \text{lcm}(A,B)$

왜 성립하나?
$A = g \cdot a$, $B = g \cdot b$ (g = GCD, $\gcd(a,b)=1$이 되도록)
$A \times B = g^2 \cdot ab$
$\text{lcm}(A,B) = g \cdot a \cdot b$ (서로소인 부분은 곱)
$\gcd \times \text{lcm} = g \times g \cdot ab = g^2 \cdot ab = A \times B$ ✓

두 수 쌍 구하는 전략: GCD = $g$이면 두 수를 $g \cdot a$, $g \cdot b$로 놓고 ($\gcd(a,b)=1$), $a \cdot b = \text{lcm}/g$ 조건에서 서로소인 쌍을 탐색해요.

✏️ 심화 문제 — L · M · H

L $A = 12$, $B = 18$일 때, $\gcd(A,B) \times \text{lcm}(A,B)$의 값을 구하세요.
216
$A \times B = \gcd \times \text{lcm}$이므로
$12 \times 18 = 216$
(또는: $\gcd(12,18)=6$, $\text{lcm}(12,18)=36$ → $6\times36=216$ ✓)
L 두 수의 최대공약수가 4, 최소공배수가 48입니다. 두 수의 곱을 구하세요.
192
$A \times B = \gcd \times \text{lcm} = 4 \times 48 = 192$
M $\gcd(A,B) = 6$, $\text{lcm}(A,B) = 90$이고 $A \le B$일 때, 가능한 $(A, B)$ 쌍을 모두 구하세요.
$A = 6a$, $B = 6b$ ($\gcd(a,b)=1$)로 놓으면
$\text{lcm}(A,B) = 6 \times a \times b = 90$ → $ab = 15$
$\gcd(a,b)=1$인 쌍 $(a,b)$를 찾아봐요.
(6, 90)과 (18, 30)
$A=6a,\,B=6b$, $\gcd(a,b)=1$, $ab=15$
$15 = 1\times15$ → $\gcd(1,15)=1$ ✓ → $(A,B)=(6,90)$
$15 = 3\times5$ → $\gcd(3,5)=1$ ✓ → $(A,B)=(18,30)$
검증: $\gcd(6,90)=6$ ✓, $\text{lcm}(6,90)=90$ ✓
          $\gcd(18,30)=6$ ✓, $\text{lcm}(18,30)=90$ ✓
M $\gcd(A,B) = 12$이고 $A \times B = 864$일 때, $\text{lcm}(A,B)$를 구하세요.
72
$\text{lcm}(A,B) = \dfrac{A \times B}{\gcd(A,B)} = \dfrac{864}{12} = 72$
H $\gcd(A,B) = 10$, $\text{lcm}(A,B) = 600$이고 $A \le B$일 때, 조건을 만족하는 $(A, B)$ 쌍의 개수를 구하세요.
$A=10a$, $B=10b$, $\gcd(a,b)=1$, $ab = 600/10 = 60$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$, $\gcd(a,b)=1$인 쌍을 탐색해요.
4쌍
$a \times b = 60$, $\gcd(a,b)=1$, $a \le b$인 쌍:
$(1,\,60)$: $\gcd=1$ ✓ → $(A,B)=(10,\,600)$
$(3,\,20)$: $\gcd=1$ ✓ → $(A,B)=(30,\,200)$
$(4,\,15)$: $\gcd=1$ ✓ → $(A,B)=(40,\,150)$
$(5,\,12)$: $\gcd=1$ ✓ → $(A,B)=(50,\,120)$
$(2,\,30)$: $\gcd=2$ ✗ / $(6,\,10)$: $\gcd=2$ ✗
→ 총 4쌍

⚠️ 자주 하는 실수

쌍 탐색 누락: $ab=n$인 서로소 쌍을 구할 때, 경우를 빠뜨리거나 서로소 조건 체크를 안 하는 실수.
조건 체크 누락: GCD = $g$면 두 수는 반드시 $g$의 배수여야 해요. "두 수의 곱이 이 값이 된다"는 것만 보고 $g$의 배수가 아닌 수를 골라버리는 실수.

🔗 연결 개념

두 수 구하기 (역방향) 서로소 조건 탐색 약수 개수 공식 분수 약분·통분