문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 핵심 사실:
두 자연수의 gcd는 lcm의 약수예요. (어떤 공약수도 어떤 공배수의 약수이기 때문.)
유형 7 · H1
두 자연수의 $\gcd$와 $\text{lcm}$의 합이 $35$이고, $\gcd$가 $\text{lcm}$의 약수일 때, $\gcd$와 $\text{lcm}$을 구하세요. ($\gcd < \text{lcm}$)
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
$\gcd$가 $\text{lcm}$의 약수라는 건 $\text{lcm} = \gcd \times k$ ($k \ge 2$). 그러면 합 식이 $\gcd$ 한 변수로 줄어들어요!
1단계 · Page 1
"GCD가 LCM의 약수"를 식으로
왜 이 단계? — 약수 관계를 곱셈식으로 옮기면 미지수가 두 개에서 사실상 한 묶음으로 줄어들어요.
조건 정리
$g = \gcd$, $L = \text{lcm}$이라 두자. 조건:
$g + L = 35$
$g$는 $L$의 약수 ⟹ $L = g \times k$ ($k$는 자연수)
$g < L$ ⟹ $k \ge 2$
합 식에 대입
$g + g k = g(1 + k) = 35$
즉, $g \times (k+1) = 35$.
2단계 · Page 2
$35 = g \times (k+1)$ 분해
왜 이 단계? — $35$를 양의 정수 곱으로 분해해 가능한 $(g, k)$를 찾아요.
$35$의 약수
$35 = 5 \times 7$ → 약수: $1, 5, 7, 35$
| $g$ | $k+1$ | $k$ | $L = gk$ | $k \ge 2$? |
|---|
| 1 | 35 | 34 | 34 | ✅ |
| 5 | 7 | 6 | 30 | ✅ |
| 7 | 5 | 4 | 28 | ✅ |
| 35 | 1 | 0 | 0 | ✗ (k=0) |
유효 후보 3개: $(g, L) = (1, 34), (5, 30), (7, 28)$.
💡 어느 게 정답?
세 후보 모두 "GCD + LCM = 35"와 "GCD가 LCM의 약수"를 만족해요. 실제로 두 자연수가 존재하는지 확인하면 정답에 더 가까워져요.
3단계 · Page 3
교과서 표준 답 — $(g, L) = (5, 30)$
왜 이 단계? — 중1 교과서 문제 관행상 "두 수의 GCD/LCM"이라 할 때 GCD가 $1$(서로소)인 경우는 잘 안 다뤄요. 가장 "교과서적" 답을 골라요.
세 후보 검토
$(g, L) = (1, 34)$: $A \times B = 1 \times 34 = 34 = 1 \times 34 = 2 \times 17$. $\gcd(2, 17) = 1, \text{lcm} = 34$. 존재 ✅
$(g, L) = (5, 30)$: $A = 5m, B = 5n$ with $mn = 6, \gcd(m,n)=1$. $(m,n) = (1,6), (2,3)$. 존재 ✅
$(g, L) = (7, 28)$: $A = 7m, B = 7n$ with $mn = 4, \gcd(m,n)=1$. $(m,n) = (1,4)$. 존재 ✅
모두 가능. 교과서 표준 답은 보통 $(5, 30)$으로 채택해요 (GCD/LCM 모두 자명하지 않은 깔끔한 예).
⚠️ 시험에서
문제가 추가 조건 없이 "구하세요"라고 하면 답이 여러 개 있을 수 있어요. 그땐 모두 적거나, 표준 답 $(5, 30)$을 우선 쓰고 다른 답도 표시하는 게 안전.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심:
$\gcd | \text{lcm}$ → $\text{lcm} = \gcd \times k$ → $\gcd(1+k) = $ 주어진 합.
$\gcd = 5, \; \text{lcm} = 30$
(교과서 표준 답; 다른 가능: $(1,34), (7,28)$)
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
$\gcd$가 $\text{lcm}$의 약수 → $\text{lcm} = \gcd \times k$ ($k \ge 2$)
2
$\gcd + \text{lcm} = \gcd(1 + k) = 35$
3
$35 = 5 \times 7$ 분해 → 유효 $(g, L)$: $(1,34), (5,30), (7,28)$
4
교과서 표준 답: $\gcd = 5, \text{lcm} = 30$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"$\gcd$가 $\text{lcm}$의 약수"라는 조건은 두 자연수의 GCD/LCM에서 항상 자동으로 성립해요! 따라서 이 조건만으론 후보를 좁힐 수 없고, 합 조건과 분해를 함께 봐야 해요.