문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어:
gcd = 최대공약수.
"어떤 수 $d$로 나누면 나머지 $r$" → $N = d \times q + r$.
나머지가 같으면 두 수의 차가 $d$의 배수예요.
유형 6 · H1
어떤 자연수로 $56$을 나누면 $2$가 남고, $74$를 나누어도 $2$가 남는다. 이를 만족하는 자연수 중 가장 큰 것을 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
"$d$로 나누면 $2$ 남는다" → 정확히 나누어떨어지는 수는 $56 - 2 = 54$. $74 - 2 = 72$도 마찬가지. 두 수 모두를 나누는 가장 큰 $d$는?
1단계 · Page 1
"나머지 2 빼기" 전략
왜 이 단계? — 나머지가 같다는 조건을 "차의 약수" 또는 "(수-나머지)의 약수"로 변환해야 GCD를 쓸 수 있어요.
조건을 식으로
$56 = d \times q_1 + 2$ → $d$가 $56 - 2 = 54$를 나눔
$74 = d \times q_2 + 2$ → $d$가 $74 - 2 = 72$를 나눔
즉 $d$는 $54$와 $72$ 공통의 약수예요. 가장 큰 그런 $d$는?
$d = \gcd(54, 72)$
2단계 · Page 2
$\gcd(54, 72)$ 계산
왜 이 단계? — 소인수분해로 공통 소인수 × 작은 지수.
각각 소인수분해
$54 = 2 \times 3^3$
$72 = 2^3 \times 3^2$
공통 소인수 × 작은 지수
공통: $2, 3$
$\min(1, 3) = 1$ → $2^1$
$\min(3, 2) = 2$ → $3^2$
$\gcd(54, 72) = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$
3단계 · Page 3
조건 확인 — 나누는 수 > 나머지
왜 이 단계? — "$d$로 나누면 나머지 $2$"가 의미를 가지려면 $d > 2$여야 해요. 아니면 나머지가 $d$보다 커져 모순.
조건 점검
$d = 18 > 2$ → 나머지 조건 합당 ✅
(만약 $d \le 2$였다면 "나머지 2"라는 표현이 불가능해서 답에서 제외해야 했어요.)
실제 나눗셈으로 검산
$56 \div 18 = 3$ 나머지 $2$ ✅
$74 \div 18 = 4$ 나머지 $2$ ✅
⚠️ 흔한 실수
$54$의 약수, $72$의 약수를 모두 나열해야 한다고 오해하지 마요. 가장 큰 공약수만 답이에요. 또 작은 공약수들도 조건을 만족하지만 "가장 큰" 답을 묻고 있죠.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 패턴:
"$A, B$를 어떤 수로 나누면 나머지 $r$ 똑같음" → $\gcd(A-r, B-r)$ 그리고 $d > r$ 확인.
$d = 18$
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
각 수에서 나머지를 빼: $56-2=54$, $74-2=72$ → $d$는 두 수의 공약수
2
$54 = 2 \times 3^3$, $72 = 2^3 \times 3^2$
3
$\gcd(54, 72) = 2 \times 3^2 = 18$
4
$18 > 2$ 확인 ✅, 직접 검산: $56 = 18 \times 3 + 2$, $74 = 18 \times 4 + 2$ ✅
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
나머지가 $0$이 아니면 (수 - 나머지)의 GCD를 구해야 해요. 그리고 답이 나머지보다 커야 합니다 ($d > r$).