문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 실생활 ↔ GCD:
"두 종류를 똑같이 남김없이 나누는 최대 인원" = $\gcd$
· "주기적인 일이 동시에 일어나는 최소 시간" = $\text{lcm}$
유형 5 · H3
어느 창고에 사탕이 $120$개, 과자가 $180$개 있다. 이것을 몇 명의 학생에게 남김없이 똑같이 나누어 주려고 할 때, 최대 몇 명에게 나누어 줄 수 있는지 구하고, 그때 한 학생이 받는 사탕과 과자의 수를 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
"남김없이 똑같이 나눈다" = 학생 수가 사탕 개수와 과자 개수 모두의 약수. "최대" = 그 중 가장 큰 수 = $\gcd$!
1단계 · Page 1
"최대 학생 수" = $\gcd(120, 180)$
왜 이 단계? — 실생활 표현을 수학 도구(GCD)로 번역.
📖 용어:
gcd(a, b) = 최대공약수
왜 GCD인가
학생 $k$명에게 남김없이 똑같이 나누려면:
$k$는 $120$의 약수 (사탕을 똑같이 나누기 위해)
$k$는 $180$의 약수 (과자를 똑같이 나누기 위해)
⟹ $k$는 $120$과 $180$의 공약수
그 중 가장 큰 수가 답:
최대 학생 수 $= \gcd(120, 180)$
2단계 · Page 2
소인수분해로 $\gcd(120, 180)$ 계산
왜 이 단계? — 공통 소인수에 작은 지수를 곱하면 GCD가 나와요.
각각 소인수분해
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
공통 소인수 × 작은 지수
공통 소인수: $2, 3, 5$
각 작은 지수: $\min(3,2)=2$, $\min(1,2)=1$, $\min(1,1)=1$
$\gcd(120, 180) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
따라서 최대 $60$명에게 나눌 수 있어요.
3단계 · Page 3
한 명이 받는 사탕·과자 개수
왜 이 단계? — 총개수를 학생 수로 나누면 1인당 받는 양.
계산
사탕: $120 \div 60 = 2$ 개
과자: $180 \div 60 = 3$ 개
한 학생이 사탕 $2$개, 과자 $3$개씩 받게 돼요.
검산
$60 \times 2 = 120$ (사탕 모두) ✅
$60 \times 3 = 180$ (과자 모두) ✅
⚠️ 흔한 실수
"$120 + 180 = 300$을 어떻게…" 같이 합치면 안 돼요. 사탕은 사탕끼리, 과자는 과자끼리 나눠야 해요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심:
"여러 양을 남김없이 똑같이 나누는 최대 인원" = $\gcd$
최대 $60$명에게 나눌 수 있고,
한 명이 사탕 $2$개, 과자 $3$개
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
"남김없이 똑같이 + 최대" → $\gcd$ 활용
2
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$, $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
3
$\gcd = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$명
4
$120 \div 60 = 2$개, $180 \div 60 = 3$개
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"최대" 키워드를 보면 GCD, "최소" 시간/길이를 보면 LCM. 실생활 문제에서 어떤 도구를 쓸지 헷갈리면 이 키워드를 봐요.