문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어·기호:
gcd = 최대공약수 (greatest common divisor) ·
lcm = 최소공배수 (least common multiple) ·
서로소 = gcd가 $1$인 두 수
유형 5 · H1
두 자리 자연수 $A$와 $B$가 있다. $A = 5k$, $B = 7k$ ($k$는 자연수)일 때, $\gcd(A, B)$와 $\text{lcm}(A, B)$를 $k$를 사용하여 나타내세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
$A$와 $B$ 모두에 공통으로 들어 있는 부분이 무엇인가요? 그리고 $5$와 $7$의 관계는?
1단계 · Page 1
$5$와 $7$이 어떤 관계인지 확인
왜 이 단계? — $A = 5k$, $B = 7k$에서 $k$는 공통 부분, $5$와 $7$이 각각의 "고유 부분". 그 관계를 알아야 GCD/LCM 공식이 나와요.
📖 핵심:
$a$와 $b$가 서로소이면 $\gcd(ka, kb) = k$, $\text{lcm}(ka, kb) = kab$.
$5$와 $7$은 서로소
$5$와 $7$ 모두 소수이고 서로 다르므로 공통 약수는 $1$뿐.
$\gcd(5, 7) = 1$ → 서로소
2단계 · Page 2
$\gcd(A, B)$ 구하기
왜 이 단계? — 공통인수 $k$를 묶어내고, 남은 부분의 공약수를 곱하면 GCD.
분배법칙 응용
$A = k \times 5$, $B = k \times 7$. 두 수에서 $k$는 공통, $5$와 $7$은 서로소.
$\gcd(A, B) = \gcd(k \cdot 5, \; k \cdot 7) = k \cdot \gcd(5, 7) = k \cdot 1 = k$
🤔 직관적으로
$A$ 안에는 $k$와 $5$가, $B$ 안에는 $k$와 $7$이 있어요. 둘 다 공통으로 가진 건 $k$밖에 없어요 ($5$와 $7$은 서로 공통이 없으니까).
3단계 · Page 3
$\text{lcm}(A, B)$ 구하기
왜 이 단계? — LCM은 두 수의 모든 소인수를 큰 지수로 모은 것. 공통 $k$와 각 고유 부분을 다 곱하면 돼요.
📖 관계식:
$A \times B = \gcd(A, B) \times \text{lcm}(A, B)$
방법 1 — 관계식 이용
$A \times B = 5k \times 7k = 35k^2$
$\gcd(A, B) = k$
$\text{lcm}(A, B) = \dfrac{A \times B}{\gcd(A, B)} = \dfrac{35k^2}{k} = 35k$
방법 2 — 직관적으로
$A, B$ 모두를 나누는 가장 작은 수: 공통 $k$를 한 번, $5$도 한 번, $7$도 한 번 곱하면 둘 다 들어와요.
$\text{lcm}(A, B) = k \times 5 \times 7 = 35k$
⚠️ 흔한 실수
"$\text{lcm} = A \times B = 35k^2$" 라고 답하면 틀려요. LCM은 두 수의 곱이 아니에요. 두 수의 곱은 $\gcd \times \text{lcm}$에 해당해요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 공식:
$a, b$ 서로소이면 $\gcd(ka, kb) = k$, $\text{lcm}(ka, kb) = kab$. 그리고 $A \cdot B = \gcd \cdot \text{lcm}$.
$\gcd(A, B) = k$
$\text{lcm}(A, B) = 35k$
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
$\gcd(5, 7) = 1$ — $5$와 $7$은 서로소
2
$\gcd(A, B) = k \cdot \gcd(5, 7) = k$
3
$\text{lcm}(A, B) = \dfrac{A \cdot B}{\gcd} = \dfrac{35k^2}{k} = 35k$
4
검산: $\gcd \cdot \text{lcm} = k \cdot 35k = 35k^2 = A \cdot B$ ✅
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
$5, 7$이 서로소여서 GCD가 깔끔하게 $k$가 됐다는 게 핵심! 만약 $A = 6k, B = 9k$ 같으면 $\gcd(6,9) = 3$이라 $\gcd(A,B) = 3k$가 돼요. 항상 "고유 부분의 GCD"를 확인하세요.