문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 핵심 사실:
약수는 보통 짝(쌍)으로 등장해요. $a \times b = n$이면 $(a, b)$가 한 쌍. 그래서 약수 개수는 보통 짝수.
유형 4 · H3
$1$부터 $50$까지의 자연수 중 약수의 개수가 홀수인 수의 개수를 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
작은 수부터 약수 개수를 직접 세어봐요. $1$ (1개), $2$ (2개), $4$ (3개), $9$ (3개), $16$ (5개)... 어떤 수들이 홀수일까요?
1단계 · Page 1
왜 약수 개수는 보통 짝수일까?
왜 이 단계? — 약수가 "쌍"으로 묶이는 원리를 알면 홀수가 되는 조건이 보여요.
약수의 쌍
약수 $a$가 있으면 $b = n / a$도 약수예요. 즉, $(a, b)$가 함께 등장.
예: $12$의 약수 쌍
$(1, 12), (2, 6), (3, 4)$ → 약수 6개 (짝수)
각 쌍이 두 약수를 만드니까 보통 약수 개수는 짝수.
쌍이 "혼자"가 되는 경우
만약 $a = b$이면? 그땐 한 약수가 자기 자신과 쌍을 이뤄서 약수가 하나만 추가돼요.
$a = b$ → $a \times a = n$ → $n = a^2$ ($n$은 완전제곱수)
예: $16 = 4 \times 4$. 4는 자기 자신과 쌍. 약수: $(1,16), (2,8), (4,4)$ → 5개 (홀수)
2단계 · Page 2
결론: 약수 개수 홀수 ↔ 완전제곱수
왜 이 단계? — 1단계의 관찰을 정리하면 답으로 가는 핵심 명제가 나와요.
핵심 명제
자연수 $n$의 약수 개수가 홀수 ⟺ $n$은 완전제곱수
(완전제곱수: $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ 처럼 $k^2$ 꼴)
소인수분해로도 설명
$n = p^a \times q^b \times \cdots$ → 약수 개수 $= (a+1)(b+1)\cdots$
이 곱이 홀수가 되려면 각 $(a+1)$이 모두 홀수여야 하고, 그 말은 모든 지수 $a, b, \ldots$가 짝수여야 한다는 뜻 → 완전제곱수.
3단계 · Page 3
$1 \sim 50$ 사이의 완전제곱수 세기
왜 이 단계? — 답은 완전제곱수의 개수. 직접 나열하면 끝.
완전제곱수 목록
$1^2 = 1$ ✅
$2^2 = 4$ ✅
$3^2 = 9$ ✅
$4^2 = 16$ ✅
$5^2 = 25$ ✅
$6^2 = 36$ ✅
$7^2 = 49$ ✅
$8^2 = 64$ → $50$ 넘음 ✗
$1$부터 $50$까지 완전제곱수: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ → 7개
⚠️ 흔한 실수
$1$도 완전제곱수($1 = 1^2$)예요! 빼먹지 마요. 약수는 $\{1\}$ 하나뿐 = 홀수 1개.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 명제:
약수 개수가 홀수 ⟺ 완전제곱수 (모든 소인수 지수가 짝수)
$7$개
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
약수는 쌍 $(a, b)$로 등장: $a \times b = n$
2
$a = b$인 경우만 "혼자 약수" → 완전제곱수일 때만 약수 개수 홀수
3
$1 \sim 50$의 완전제곱수: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"약수 개수가 홀수인 수"라는 추상적 조건을 완전제곱수로 번역하는 게 핵심. 직접 약수 다 세려면 시간이 오래 걸려요.