깊이 탐구 — 약수의 개수

🤔 이 유형이 어려운 이유

1. 공식은 외웠는데 원리를 모름 — $(a+1)(b+1)$이 왜 약수의 개수인지 이해 안 됨
2. 역방향 문제 — "약수의 개수가 n개인 수 찾기"에서 경우의 수 탐색을 체계적으로 못 함
3. 조건 복합 — "소인수도 조건 있고, 약수 개수도 조건 있는" 문제

💡 왜 (a+1)(b+1)인가 — 원리 이해

$2^3 \times 5^2$의 약수를 모두 쓰면:

약수 = $2^a \times 5^b$ 꼴 (a = 0, 1, 2, 3 / b = 0, 1, 2)

a 선택: 4가지 (0, 1, 2, 3) = (지수 3) + 1
b 선택: 3가지 (0, 1, 2) = (지수 2) + 1
총 약수 = 4 × 3 = 12개

즉, 각 소인수에 대해 "지수를 0부터 해당 지수까지" 선택하는 경우의 수를 곱한 것이에요. 이게 $(a+1)(b+1)$ 공식의 의미예요.

$12 = 2^2 \times 3^1$
약수: $2^a \times 3^b$ (a=0,1,2 / b=0,1)

| b\a | a=0 | a=1 | a=2 |
|-----|-----|-----|-----|
| b=0 | 1 | 2 | 4 |
| b=1 | 3 | 6 | 12 |

총 3×2=6개: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ✅

수를 입력하고 약수를 확인해봐요 (2~200)

💡 역방향 문제 핵심 전략

문제: "약수의 개수가 8인 자연수 중 가장 작은 것은?"

$8 = 8\times1 = 4\times2 = 2\times4 = 2\times2\times2$
→ $(a+1)$ 조합: $(8)$, $(4,2)$, $(2,2,2)$
→ $(a)$ 조합: $(7)$, $(3,1)$, $(1,1,1)$

$(a)=(7)$: $p^7$, 가장 작음 = $2^7=128$
$(a,b)=(3,1)$: $p^3 \times q$, 가장 작음 = $2^3 \times 3=24$
$(a,b,c)=(1,1,1)$: $p \times q \times r$, 가장 작음 = $2\times3\times5=30$

후보: 128, 24, 30
최솟값: 24
검증: $24 = 2^3 \times 3$ → 약수 개수 = $(3+1)(1+1) = 8$ ✅

⚠️ 자주 하는 실수

실수 1: 인수분해 경우를 빠뜨림 — 8=2×4처럼 순서도 다른 경우로 셈
실수 2: 소수를 선택할 때 가장 작은 소수(2, 3, 5 …)를 쓰지 않음 → 최솟값이 아님
실수 3: 지수에 0을 포함하는 것 잊음 — 약수에는 $p^0=1$도 포함됨

✏️ 추가 연습 문제

1약수의 개수가 4인 자연수 중 100 이하인 것의 개수를 구하세요.

30개

약수 4개: $p^3$ 또는 $p \times q$ 꼴
$p^3$: 8, 27 → 2개
$p \times q$ (p<q 소수): 6,10,14,15,21,22,26,33,34,35,38,39,46,51,55,57,58,62,65,69,74,77,82,85,86,87,91,93,94,95 → 계산 후 28개
총 30개

2$N = 2^3 \times 3 \times 5^2$의 약수 중 홀수인 것의 개수를 구하세요.

6개

홀수 약수 = $2^0 \times 3^b \times 5^c$ (b=0,1 / c=0,1,2)
개수 = $(1+1)(2+1) = 2 \times 3 = 6$개

3약수의 개수가 소수인 자연수를 무엇이라고 하나요? 50 이하에서 2개를 찾으세요.

$p^2$ 꼴 (약수 3개): 4, 9, 25, 49

약수의 개수가 소수 → $(a+1)=$ 소수 → $a+1=2$(약수2개=소수) 또는 $a+1=3$(약수3개=$p^2$꼴)
약수 2개 = 소수 자체
약수 3개 = $p^2$ 꼴: 4(=2²), 9(=3²), 25(=5²), 49(=7²)

🔗 이 유형을 이해하면...

완전수 (약수의 합이 자신) 완전제곱수 (약수 개수 홀수) GCD·LCM 계산 심화 조합론 기초