문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 표기:
$d(n)$ = $n$의 약수의 개수 (편의상 이렇게 쓸게요).
· 서로소: 최대공약수가 $1$인 두 수.
유형 4 · H2
$n$이 자연수일 때, $2n$의 약수의 개수가 $n$의 약수의 개수의 $2$배가 되는 가장 작은 $n$을 구하세요. (단, $n$은 홀수)
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
$n$이 홀수면 $n$에 $2$가 들어있지 않아요. 그럼 $2n$의 소인수분해에는 $2^1$이 새로 붙겠죠? 그게 약수 개수에 어떤 영향?
1단계 · Page 1
$n$이 홀수일 때의 의미
왜 이 단계? — "$n$은 홀수"라는 조건이 소인수분해에 어떻게 작용하는지 파악.
📖 핵심 성질:
$a$와 $b$가 서로소이면 $d(a \times b) = d(a) \times d(b)$
$n$ 홀수 → $2$와 서로소
$n$이 홀수라는 건 $n$이 $2$로 나누어떨어지지 않는다는 뜻. 즉:
$\gcd(2, n) = 1$ → $2$와 $n$은 서로소
$2n$의 약수 개수
$2$와 $n$이 서로소이므로:
$d(2n) = d(2) \times d(n) = 2 \times d(n)$
왜 $d(2) = 2$? — $2$의 약수는 $1, 2$이니까 2개.
2단계 · Page 2
조건 확인
왜 이 단계? — 1단계에서 이미 답이 "모든 홀수에 대해 성립"임이 드러나요.
조건과 비교
문제 조건: $d(2n) = 2 \cdot d(n)$
1단계 결론: $d(2n) = 2 \cdot d(n)$ (단, $n$ 홀수)
조건과 결론이 완전히 동일!
→ 모든 홀수 $n$에 대해 조건이 자동으로 성립
가장 작은 홀수 자연수
홀수인 자연수: $1, 3, 5, 7, \ldots$
가장 작은 홀수 자연수는 $1$.
💡 의외의 답
문제가 어려워 보였지만 답은 $1$! 조건 자체가 "$n$이 홀수"라면 항상 성립하는 항등식이었던 거예요.
3단계 · Page 3
검산 — $n = 1$ 확인
왜 이 단계? — 답이 정말 조건을 만족하는지 직접 대입.
$n = 1$일 때
$n = 1$: 약수 $\{1\}$ → $d(1) = 1$
$2n = 2$: 약수 $\{1, 2\}$ → $d(2) = 2$
$d(2n) = 2 = 2 \times d(n) = 2 \times 1$ ✅
$n = 3$도 확인
$n = 3$: 약수 $\{1, 3\}$ → $d(3) = 2$
$2n = 6$: 약수 $\{1, 2, 3, 6\}$ → $d(6) = 4$
$d(2n) = 4 = 2 \times 2 = 2 \times d(n)$ ✅
모든 홀수에서 성립하지만, 가장 작은 답은 $n = 1$.
⚠️ 흔한 실수
"$1$은 너무 단순하니까 답이 아닐 거야" 라고 넘기지 마요. 자연수에서 가장 작은 수는 $1$이고, 조건을 만족하면 정답이에요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심:
서로소인 두 수의 곱의 약수 개수 = 각 약수 개수의 곱.
$n = 1$
전체 풀이 흐름 — 4단계
2
$d(2n) = d(2) \cdot d(n) = 2 \cdot d(n)$ — 모든 홀수에서 성립
4
검산: $d(1) = 1$, $d(2) = 2 = 2 \times 1$ ✅
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
문제가 "복잡한 조건"처럼 보여도, 서로소 약수개수 공식을 알면 조건이 항등식임이 드러나요. 함정은 "답이 너무 단순해 보여서 의심하는 것"입니다.