문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 약속:
"약수 중 소수"는 결국 소인수를 말해요. (예: $12 = 2^2 \times 3$ → 약수 중 소수는 $2, 3$)
유형 3 · H2
자연수 $N$을 소인수분해하면 $2^a \times 3^b$이고, 약수의 개수가 $12$개이며 약수 중 소수는 $2$개뿐이다. $N$의 최솟값을 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
"소인수가 2개"라는 건 $a$와 $b$에 어떤 조건이 붙는다는 뜻일까요? $(a+1)(b+1) = 12$를 만족하는 쌍을 모두 찾으면 풀려요.
1단계 · Page 1
조건 해석
왜 이 단계? — "약수 중 소수가 2개"라는 문구가 $a, b$에 어떤 제약을 주는지 정확히 파악.
📖 핵심:
소인수분해 표현에 등장하는 소수가 $a, b \ge 1$이면 "소인수"가 되어요. 만약 $a = 0$이면 그 소인수는 실제로 없는 거예요.
조건 1 — 약수 중 소수 = 2개
$N = 2^a \times 3^b$에서 약수 중 소수는 $2$와 $3$ 두 개. 이게 "$2$개뿐"이라는 것은:
$2$와 $3$이 모두 소인수로 실제 등장해야 한다.
⟹ $a \ge 1$ 이고 $b \ge 1$
만약 $a = 0$이면 $2$가 소인수가 아니라 소수가 1개가 되어 조건 어김.
조건 2 — 약수의 개수 = 12
$(a+1)(b+1) = 12$
2단계 · Page 2
가능한 $(a, b)$ 쌍 모두 찾기
왜 이 단계? — $(a+1)(b+1) = 12$의 모든 분해를 보고, $a, b \ge 1$ 조건을 적용.
$12$의 분해
$12 = (a+1) \times (b+1)$ 가능한 분해 (양의 정수):
| $(a+1)$ | $(b+1)$ | $(a, b)$ | 조건 $a,b\ge 1$ |
|---|
| 1 | 12 | (0, 11) | $a=0$ ✗ |
| 2 | 6 | (1, 5) | ✅ |
| 3 | 4 | (2, 3) | ✅ |
| 4 | 3 | (3, 2) | ✅ |
| 6 | 2 | (5, 1) | ✅ |
| 12 | 1 | (11, 0) | $b=0$ ✗ |
유효한 쌍 4개: $(1,5), (2,3), (3,2), (5,1)$
3단계 · Page 3
각 경우의 $N$ 계산
왜 이 단계? — 가능한 쌍 각각의 $N$을 구해 최솟값을 찾아요.
$N = 2^a \times 3^b$ 계산
| $(a, b)$ | $N$ | 값 |
|---|
| (1, 5) | $2 \times 3^5$ | $2 \times 243 = 486$ |
| (2, 3) | $2^2 \times 3^3$ | $4 \times 27 = 108$ |
| (3, 2) | $2^3 \times 3^2$ | $8 \times 9 = 72$ |
| (5, 1) | $2^5 \times 3$ | $32 \times 3 = 96$ |
최솟값은 72!
💡 패턴 관찰
$N$을 작게 만들려면 큰 지수를 작은 밑(2)에 주는 게 유리해요. $2^3 \times 3^2$가 가장 작죠.
4단계 · Page 4
검산
왜 이 단계? — 답이 조건들을 모두 만족하는지 확인.
$N = 72$ 검산
$72 = 2^3 \times 3^2$
소인수: $\{2, 3\}$ → 약수 중 소수 2개 ✅
약수의 개수 = $(3+1)(2+1) = 12$ ✅
⚠️ 흔한 실수
$a = 0$인 경우 ($N = 3^{11}$)도 "$N = 2^a \times 3^b$" 형태에 들어가 보이지만, 그러면 $2$가 소인수가 아니라 "약수 중 소수가 1개"가 돼요. 조건을 어김!
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심:
"소인수가 정확히 2개" = 두 소수 모두 지수 $\ge 1$. 약수의 개수 = $(a+1)(b+1)$.
$N$의 최솟값 $= 72$
($72 = 2^3 \times 3^2$)
전체 풀이 흐름 — 5단계
1
"약수 중 소수 2개" → $a \ge 1$, $b \ge 1$
2
"약수 12개" → $(a+1)(b+1) = 12$
3
$12$의 분해 → 유효 쌍 $(a,b)$: $(1,5), (2,3), (3,2), (5,1)$
4
각각 $N$ 계산: $486, 108, 72, 96$ → 최솟값 $= 72$
5
검산: $72 = 2^3 \times 3^2$, 약수 12개 ✅
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"$N$의 최솟값"은 큰 지수를 작은 밑에 줘야 작아져요. 무작정 작은 쪽에 작은 지수를 주면 오히려 커집니다.