그림 문제를 보면 막막하고, 식을 보면 무슨 도형인지 안 그려지나요? 그럴 수 있어요. 이 단원은 새 공식을 외우는 단원이 아니라 그림 ↔ 식을 왕복 번역하는 단원이에요. 점·직선·원을 전부 숫자로 바꾸면 그림 문제가 계산 문제가 되고, 거꾸로 식에서 중심·반지름·기울기만 읽어내면 그림이 그려져요. 그 번역 하나만 여기서 끝내요. (평행이동·대칭이동은 단원 앱에서 이어서 다뤄요.)
내분점은 "가중 평균"으로 읽어요. 수직선 위에서 $1$과 $7$을 $2:1$로 내분하는 점은 $7$ 쪽에 더 가까우니까, 가까운 쪽 숫자 $7$에 큰 비율 $2$를 곱해 평균을 내요: $\dfrac{2\cdot 7 + 1\cdot 1}{2+1} = 5$. (비 $m:n$의 $m$은 $A$ 쪽에서 잰 길이라서, 곱해지는 좌표는 반대편 점 $B$의 것 — 이게 "엇갈려 곱하기"예요.) 좌표평면에서는 $x$, $y$를 각각 따로 하면 돼요.
$P\left(\dfrac{m x_2 + n x_1}{m+n},\ \dfrac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right)$
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)일 때 선분 AB를 m : n 으로 내분하는 점. m은 B에, n은 A에 곱한다 (엇갈려 곱하기). 중점은 m = n = 1.
기울기는 속력과 같은 개념이에요. "오른쪽으로 1칸 갈 때 몇 칸 오르나" = 세로 차 ÷ 가로 차. 기울기 하나와 지나는 점 하나만 있으면 직선은 결정돼요.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
점 (x₁, y₁)을 지나고 기울기 m인 직선. 평행이면 기울기 같음, 수직이면 기울기의 곱이 −1 (둘 다 y축에 평행하지 않을 때. y축에 평행한 직선은 기울기가 없다).
점과 직선 사이의 거리 공식은 겉모습이 무섭지만 이렇게 읽어요: "점을 직선의 식에 대입한 값의 절댓값"을 "계수의 길이 $\sqrt{a^2+b^2}$"로 나눈다. 직선 위의 점을 대입하면 0이 나오니까, 대입값의 절댓값이 클수록 직선에서 멀다는 뜻이에요.
$d = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
점 (x₀, y₀)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리. 직선은 반드시 "= 0" 꼴로 정리하고 대입.
원은 "중심에서 거리가 $r$인 점들의 모임"이에요. 그래서 원의 방정식은 거리 공식에 = r을 붙인 것일 뿐이에요. 양변을 제곱하면 루트가 사라져요.
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
중심 (a, b), 반지름 r. 전개된 일반형 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 은 완전제곱으로 되돌려 읽는다.
함께 생각하기 ②
점 $(1,\,1)$과 직선 $3x + 4y + 3 = 0$ 사이의 거리는? (대입한 값을 계수 길이 $\sqrt{3^2+4^2}$로 나누기)
3좌표 번역표 — 핵심 도구
문제를 읽으면 먼저 도형을 숫자로 번역해요. 점은 좌표, 직선은 기울기와 점 하나(또는 $a, b, c$), 원은 중심과 반지름. 이 표만 채우면 나머지는 계산이에요.
"두 점 $A(1,2)$, $B(5,5)$"
⇄
가로 차 4, 세로 차 3 → 거리 5, 기울기 $\frac34$
"기울기 2, 점 $(1,3)$을 지나는 직선"
⇄
$y-3=2(x-1)$ → $2x - y + 1 = 0$
"중심 $(2,-1)$, 반지름 3인 원"
⇄
$(x-2)^2+(y+1)^2=9$ → $x^2+y^2-4x+2y-4=0$
$x^2+y^2+6x-4y+9=0$
⇄
$(x+3)^2+(y-2)^2=4$ → 중심 $(-3,2)$, 반지름 2
불변 앵커 도형 문제는 전부 "거리"와 "기울기"로 번역된다. 막히면 "지금 구해야 하는 게 거리인가, 기울기인가?"부터 묻는다.
거꾸로 읽기 연습이에요. 일반형에서 완전제곱으로 되돌려 중심과 반지름을 읽어 보세요. 매번 다른 원이 나와요.
4유형별 완전정복
이 단원 문제는 결국 네 가지예요. 각 유형에서 번역 → 식 → 계산 순서로 풀고, "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.
①
거리·내분점
가로 차·세로 차로 번역하기
핵심 거리는 피타고라스, 내분점은 엇갈려 곱한 가중 평균. 둘 다 $x$와 $y$를 따로 다룬다.
②
직선의 방정식
기울기 + 점 하나면 끝
핵심 두 점이 주어지면 먼저 기울기부터. 평행은 기울기 같음, 수직은 기울기 곱이 $-1$ (한쪽을 뒤집고 부호 바꾸기).
③
점과 직선 사이의 거리
대입값 ÷ 계수 길이
핵심 직선을 $ax+by+c=0$ 꼴로 정리 → 점을 대입해 절댓값 → $\sqrt{a^2+b^2}$로 나눈다. 대입값이 0이면 그 점은 직선 위에 있다.
④
원과 직선
중심에서 직선까지 거리 d 와 반지름 r 비교
핵심 원과 직선의 위치 관계는 판별식 대신 $d$와 $r$로 판단하면 빠르다. $d < r$ 두 점, $d = r$ 접함, $d > r$ 만나지 않음. 일반형 원은 완전제곱으로 중심·반지름부터 읽는다.
5실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 알려주지 않아요. 문제를 읽고 스스로 번역해서 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고, 그 유형으로 돌아가는 길을 열어 둘게요.
6마무리 치트시트
📍 도형의 방정식 한 장 요약
거리$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ — 피타고라스
내분점 m : n$\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right)$ — 엇갈려 곱하기
직선$y-y_1=m(x-x_1)$ · 평행 $m_1=m_2$ · 수직 $m_1 m_2=-1$
점·직선 거리$\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ — 대입값 ÷ 계수 길이
원$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ · 일반형은 완전제곱으로
원과 직선$d$ vs $r$ — 작으면 두 점, 같으면 접점, 크면 없음
📌 어른이 되어도 기억할 것
좌표는 데카르트의 발명이에요. 도형을 숫자로 바꾼 순간 기하와 대수가 하나가 됐고, 그래서 컴퓨터가 그림을 다룰 수 있게 됐어요.
"점과 직선 사이의 거리"는 게임의 충돌 판정, 지도 앱의 "도로에서 얼마나 벗어났나" 계산에 그대로 쓰여요.
원의 방정식은 거리 공식의 다른 이름. "중심에서 같은 거리" 하나로 원·구·GPS 위치 계산까지 이어져요.
💡 다음으로 이어지는 것
"원 위를 도는 점"을 각도로 읽으면 삼각함수(대수)가 되고, 곡선에 붙는 직선(접선)의 기울기를 읽으면 미분(미적분Ⅰ)이 돼요. 이 특강의 "거리·기울기" 두 단어는 고2까지 계속 쓰여요.
🏠 이미 보고 있던 곳
GPS는 위성들과의 거리로 위치를 잡아요(공간에서는 구의 교점, 평면으로 줄이면 원의 교점). 내비게이션의 "경로 이탈"은 내 위치와 도로(직선)의 거리가 기준값을 넘었다는 뜻이고, 사진 앱의 기울기 보정은 기울기 계산이에요.
🏭 이걸로 먹고사는 사람들
컴퓨터 그래픽스와 게임의 충돌 판정(점·직선·원 사이 거리), 지도·GIS의 좌표 변환, 자율주행의 차선 인식(내 위치와 차선 직선의 거리), 측량·건축 설계. 🎓 컴퓨터공학 · 공간정보공학 · 토목·건축