원은 "한 점(중심)에서 같은 거리(반지름)에 있는 점들의 모임"이다. 이 기하 조건을 앞 단원의 거리 공식으로 쓰면 곧바로 원의 방정식이 나온다. GPS의 삼변측량, 통신 커버리지, 렌즈 설계가 전부 이 식 위에 있다.
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원 = 위치를 찾는 도구 (GPS)
GPS는 위성마다 "나로부터 거리 $r$" 원을 그린다. 여러 원이 겹치는 교점이 내 위치. 원의 방정식과 원-원/원-직선 교점 계산이 실제 측위의 수학적 핵심이다.
⭕ 원의 방정식
중심 $(a, b)$ 와 반지름 $r$ 을 바꿔 원이 어떻게 움직이는지 보자. 식은 항상 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
중심 a1
중심 b1
반지름 r2.5
✅ 표준형 (중심·반지름이 보인다)
중심 $(a,b)$, 반지름 $r$ 인 원: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. 중심이 원점이면 $x^2 + y^2 = r^2$.
✅ 일반형 ↔ 표준형
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ 를 완전제곱으로 정리하면 중심·반지름이 보인다. 예: $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ → $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ → 중심 $(1,2)$, 반지름 $2$.
⚠️ 일반형이 "원"이 되려면
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ 을 표준형으로 고치면 우변이 $r^2=\dfrac{A^2+B^2-4C}{4}$ 다. 이것이 양수여야 원이다: $A^2+B^2-4C \gt 0$. 0이면 점 하나, 음수면 도형이 없다. 예: $x^2+y^2-6x+4y+k=0 \Rightarrow 13-k \gt 0 \Rightarrow k \lt 13$ (등호는 안 들어간다).
🧭 거리의 비가 일정한 점의 자취
두 점 $A$, $B$ 에서의 거리의 비가 $m:n$ ($m\ne n$)으로 일정한 점 $P$ 의 자취는 원이다(아폴로니우스의 원). $PA:PB=2:1$ 이면 $PA^2=4PB^2$ 으로 놓고 전개해 표준형으로 정리한다. 예: $A(-1,0)$, $B(2,0)$ 이면 $(x-3)^2+y^2=4$, 반지름 2. "같은 거리"($1:1$)일 때만 직선(수직이등분선)이 된다.
🔗 원과 직선의 위치 관계
중심 원점, 반지름 $r$ 인 원과 수평선 $y = k$. 직선을 위아래로 옮기며 중심에서 직선까지 거리 $d = |k|$ 와 $r$ 을 비교하자. $d = r$ 이 되는 순간이 접함! (예: $r = 3$, $k = 3$)
반지름 r3
직선 높이 k2
✅ 두 가지 판별법 (같은 결론)
① 거리: 중심에서 직선까지 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 비교. ② 판별식: 원과 직선 식을 연립한 이차방정식의 $D$.
관계
거리
판별식
교점
두 점에서 만남
$d < r$
$D > 0$
2개
접함
$d = r$
$D = 0$
1개
만나지 않음
$d > r$
$D < 0$
0개
✅ 접선의 성질
원의 접선은 접점에서 반지름과 수직이다. 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,y_1)$ 에서의 접선: $x_1 x + y_1 y = r^2$.
📏 현의 길이 — 직각삼각형 하나
원(반지름 $r$)과 직선이 두 점 $A$, $B$ 에서 만날 때, 중심에서 직선까지의 거리를 $d$ 라 하면 $\overline{AB}=2\sqrt{r^2-d^2}$. 반지름·$d$·반현이 직각삼각형을 이룬다. 예: $x^2+y^2=25$ 와 $3x+4y-10=0$: $d=\dfrac{|{-10}|}{5}=2$, $\overline{AB}=2\sqrt{25-4}=2\sqrt{21}$. 마지막 2배를 빼먹지 않는다.
✂️ 접선 3종 — 점이 어디에 있는가부터
① 기울기 $m$ 이 주어진 접선(원 $x^2+y^2=r^2$): $y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$. 잊으면 "중심~직선 거리 $=r$"로 세운다. ② 원 위의 점 $(x_1,y_1)$ 에서의 접선: $x_1x+y_1y=r^2$ (점을 대입해 $r^2$ 이 되는지 먼저 확인). ③ 원 밖의 점에서 그은 접선: 항상 두 개. 접점을 $(x_1,y_1)$ 로 두고 ②의 식이 그 점을 지난다는 조건 + $x_1^2+y_1^2=r^2$ 을 연립하거나, 기울기 $m$ 으로 놓고 거리 $=r$ 을 푼다. ②에 원 밖의 점을 넣어 나온 직선은 접선이 아니라 두 접점을 지나는 직선이다.
📐 원 위의 점까지의 거리 최대·최소
점(또는 직선)에서 중심까지의 거리를 $d$ 라 하면 원 위의 점까지의 거리는 최대 $d+r$, 최소 $d-r$ (직선이 원과 만나면 최소는 0). 예: $(x-3)^2+(y-4)^2=4$ 와 원점: $d=5$, $r=2$ → 최대 7, 최소 3. 두 축에 동시에 접하는 원은 반지름 $=|$중심의 $x$좌표$|=|$중심의 $y$좌표$|$ 이므로 중심을 $(a,a)$ 또는 $(a,-a)$ 로 놓는다.
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
원 $=$ 중심에서 같은 거리인 점들 → $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
원과 직선: 중심-직선 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 비교 ($d < r$ 만남, $d=r$ 접함, $d > r$ 안 만남).
접선은 접점에서 반지름과 수직.
💡 인사이트 — 거리 조건이 곡선을 만든다
"한 점에서 같은 거리"는 원, "두 점에서 거리의 합/차가 일정"은 타원·쌍곡선, "한 점과 한 직선에서 같은 거리"는 포물선. 거리 조건 하나로 온갖 곡선이 태어난다 — 이것이 원뿔곡선의 세계.
🪐 원뿔곡선이 우주를 열었다 — 케플러
고대 그리스의 아폴로니우스는 원뿔을 다양한 각도로 잘라 원·타원·포물선·쌍곡선(원뿔곡선)을 분류했다 — 당시엔 순수한 기하학 놀이였다. 약 1800년 뒤 케플러는 천문학자 튀코 브라헤 밑에서 조수로 일하다 물려받은 화성 관측 자료를 분석하다, 행성이 원이 아니라 타원 궤도로 돈다는 것을 발견했다(1609년) — "천체는 완벽하니 원 궤도여야 한다"는 2000년 된 믿음이 무너진 순간이다. 이 타원 궤도는 훗날 뉴턴의 만유인력 법칙을 뒷받침하는 결정적 증거가 됐다. 오늘 배운 원은 이 거대한 이야기의 첫 페이지다.
🏠 원의 방정식이 숨어 있는 곳
🛰️
GPS 삼변측량
세 원의 교점 = 내 위치
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기지국 커버리지
신호 도달 범위 = 원
🔭
렌즈·거울
구면 = 원의 회전
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지진 진앙
도달 거리 원의 교점
🏭 산업과 직업 — 거리로 위치를 찾다
🛰️
측위·통신 엔지니어 기지국·위성의 도달 거리(원)로 위치를 삼변측량. 🎓 전자 · 통신 · 항공우주
🔬
광학·렌즈 설계 구면(원의 회전)으로 빛의 경로·초점을 계산. 🎓 광학 · 물리 · 기계공학
🌍
지진·재난 분석 파동 도달 거리 원들의 교점으로 진앙을 특정. 🎓 지구과학 · 지질 · 토목
🔥 원의 방정식 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리 — 핵심 공식
개념
공식
표준형
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ (중심 $(a,b)$)
원점 중심
$x^2+y^2=r^2$
일반형
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
원과 직선
$d < r$ 만남 / $d=r$ 접함 / $d > r$ 안 만남
원 위 점의 접선
$x_1 x + y_1 y = r^2$
🔑 한 줄 요약
원은 "같은 거리" 조건의 식. 직선과의 관계는 중심-직선 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 비교 한 번으로 끝난다.