🚪 관문 특강 · 공통수학1 Ⅱ 방정식과 부등식

📈 이차함수 완전정복 — 포물선 한 그림이면 끝

판별식, 근과 계수의 관계, 최댓값·최솟값, 이차부등식… 교과서는 이걸 따로따로 가르치니까 외울 게 넷으로 보여요. 그런데 사실 전부 포물선 그림 하나에서 읽히는 거예요. 그림 하나를 손으로 움직여 보면서, 네 가지가 같은 것의 다른 이름이라는 걸 여기서 확인해요.

① 꼭짓점·최대최소 ② 판별식 ③ 근과 계수 ④ 이차부등식

1포물선 하나에서 전부 읽기 (공식 없이)

슬라이더로 $a$, $b$, $c$를 움직여 보세요. 포물선이 바뀔 때 꼭짓점, $x$축과 만나는 점의 개수, 판별식 $D$의 부호가 어떻게 같이 움직이는지 보세요. 맨 아래 $k$ 슬라이더는 가로선 $y=k$예요.

보이나요? $a>0$이면 아래로 볼록한 그릇 모양(∪), 꼭짓점이 $x$축 아래에 있으면 $x$축을 두 번 지나고 그때 $D>0$이에요. 꼭짓점이 $x$축 위로 올라가면 못 만나고 $D<0$. 판별식은 새로운 무언가가 아니라 "꼭짓점이 $x$축 어느 쪽에 있나"를 숫자로 적은 것뿐이에요.

함께 생각하기 ①

$y=x^2-4x+3$ 의 꼭짓점의 $y$좌표는? (위 그래프의 초기 상태예요)

2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것

모든 것은 완전제곱에서 시작해요. $x^2-4x+3$에서 $x^2-4x$를 $(x-2)^2-4$로 묶으면 $(x-2)^2-1$. 이 꼴이 되는 순간 꼭짓점 $(2,-1)$이 보여요.

$y=a(x-h)^2+k,\qquad h=-\dfrac{b}{2a}$

축 x = h 는 "b를 2a로 나누고 부호 바꾸기". 꼭짓점의 y좌표 k는 h를 대입해서 구하는 게 가장 빠르다.

근의 공식도 이 그림에서 읽혀요. 축 $x=h$에서 좌우로 같은 거리만큼 떨어진 곳이 $x$축과 만나는 점이에요. 그 거리가 $\dfrac{\sqrt{D}}{2|a|}$. 그래서 $D>0$이면 두 점, $D=0$이면 축 위 한 점(중근), $D<0$이면 루트 안이 음수라 만나지 않아요.

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\qquad D=b^2-4ac$

"축 ± 반폭". 두 근의 한가운데가 축이다.

근과 계수의 관계는 "두 근을 알면 식을 쓸 수 있다"를 거꾸로 읽은 거예요. $a(x-\alpha)(x-\beta)$를 전개하면 $ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$. 계수를 비교하면 끝.

$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

두 근의 합은 축의 2배(α+β = 2h). 곱은 상수항을 a로 나눈 것. 근을 직접 안 구해도 합·곱은 안다.

이차부등식은 계산이 아니라 그래프가 $x$축보다 위인가 아래인가를 읽는 문제예요. $ax^2+bx+c>0$은 "포물선이 $x$축 위에 있는 $x$의 범위". $a>0$일 때 부등식이 "$\gt0$"이면 두 근의 바깥, "$\lt0$"이면 두 근의 사이. ($a<0$이면 양변에 $-1$을 곱해 $a>0$으로 만든다.)

$a>0$: $(x-\alpha)(x-\beta)>0 \Rightarrow x\lt \alpha$ 또는 $x\gt \beta$ · $(x-\alpha)(x-\beta)<0 \Rightarrow \alpha\lt x\lt \beta$

a가 음수면 양변에 −1을 곱해 a를 양수로 만들고 부등호를 뒤집는다. 그래프로 확인하는 습관.

최댓값·최솟값은 꼭짓점을 찾는 문제예요. 다만 $x$의 범위가 제한되면 꼭짓점이 범위 안에 있는지부터 확인해요. 범위 밖이면 최대·최소는 양 끝에서 나와요.

함께 생각하기 ②

$x^2-5x+6=0$ 의 두 근의 합은? (근을 구하지 않고 계수만 보고)

3포물선 카드 — 핵심 도구

이차함수 문제를 만나면 계산보다 먼저 카드 다섯 칸을 채워요. 채우고 나면 어떤 유형이든 답이 카드 안에 있어요.

칸	어떻게 읽나	$y=x^2-4x+3$
$a$의 부호	아래로 볼록 ∪ (그릇) / 위로 볼록 ∩ (산)	$a=1>0$ 그릇
축 $x=h$	$-\dfrac{b}{2a}$	$x=2$
꼭짓점 $(h,k)$	$h$를 대입	$(2,-1)$
$D$의 부호	$b^2-4ac$ → $x$축과 만나는 점 개수	$16-12=4>0$ 두 점
$y$절편	$c$	$3$

불변 앵커 이차함수 문제는 전부 "꼭짓점이 어디에 있나"를 묻는다. 판별식도, 최댓값도, 부등식의 해도 꼭짓점 위치의 다른 표현이다.

카드 채우기 연습이에요. 식이 매번 바뀌어요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형 모두 카드 → 그림 → 답 순서예요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.

①

꼭짓점 · 최댓값·최솟값

완전제곱 → 꼭짓점 → 범위 확인

핵심 축 $h=-\dfrac{b}{2a}$부터. $x$의 범위가 있으면 꼭짓점이 범위 안인지 확인하고, 밖이면 양 끝값을 비교한다.

②

판별식

x축과 만나는 점의 개수 · 중근 조건

핵심 $D=b^2-4ac$. 두 점 $D>0$, 접함(중근) $D=0$, 만나지 않음 $D<0$. $b$가 짝수면 $\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac b2\right)^2-ac$로 계산이 가볍다.

③

근과 계수의 관계

근을 안 구하고 합·곱으로

핵심 $\alpha+\beta=-\dfrac ba$, $\alpha\beta=\dfrac ca$. 그다음은 변형: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$, $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$.

④

이차부등식

그래프가 x축 위인가 아래인가

핵심 인수분해해서 두 근을 찾고, $a>0$으로 만든 뒤 바깥(>0) / 사이(<0). 등호가 있으면 근을 포함.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 카드부터 채우고 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

📈 이차함수 한 장 요약

꼭짓점축 $h=-\frac{b}{2a}$, 대입해서 $k$ · $y=a(x-h)^2+k$

판별식$D=b^2-4ac$ · ($a\gt0$ 기준) 두 점 / 접함 / 없음 = 꼭짓점이 축 아래 / 축에 닿음 / 축 위 · $a\lt0$이면 반대

근과 계수$\alpha+\beta=-\frac ba$ · $\alpha\beta=\frac ca$ · $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

부등식$a>0$으로 만들고, $>0$ 바깥 · $<0$ 사이

최대·최소범위 안에 꼭짓점 있으면 꼭짓점, 없으면 양 끝 비교

한 문장전부 "꼭짓점이 어디 있나"의 다른 이름

📌 어른이 되어도 기억할 것

던진 공, 분수의 물줄기, 위성 안테나의 단면은 전부 포물선이에요. "가장 높은 점"을 묻는 문제는 곧 꼭짓점을 묻는 문제예요.
"이익이 최대가 되는 가격", "재료가 최소가 되는 모양" 같은 최적화의 첫 모델이 이차함수예요. 고2 미분은 이 "꼭짓점 찾기"를 모든 곡선으로 넓힌 것이에요.
판별식은 "해가 있느냐"를 계산 없이 알려주는 장치예요. 있는지부터 확인하고 구하는 습관이 공학의 기본이에요.

💡 다음으로 이어지는 것

꼭짓점에서 접선은 수평이에요. 미적분Ⅰ에서 배우는 "미분계수 = 0인 곳이 극값"은 바로 이 그림을 모든 함수로 확장한 것이에요. 그리고 근과 계수의 관계는 삼차방정식에서도 같은 방식으로 확장돼요.

🏠 이미 보고 있던 곳

휴대폰 카메라의 초점 맞추기, 자동차 헤드라이트 반사경, 다리의 케이블 모양, 물로켓의 궤적. 그리고 "몇 개를 팔아야 이익이 최대인가"를 계산하는 가게 주인의 머릿속에도 포물선이 있어요.

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

포물선의 꼭짓점을 찾는 "최적화"는 경영(이익 최대 가격), 공학(재료 최소 설계), 물리(투사체·안테나 반사경)의 기본 도구예요. 🎓 산업공학 · 경제학 · 기계·항공공학

단원 앱으로 이어서 → 이차함수와 이차방정식·부등식 · 복소수와 이차방정식

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