🔗 근과 계수의 관계
✅ 두 근의 합과 곱
$ax^2 + bx + c = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 하면
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$
근을 직접 구하지 않고도
합과 곱을 바로 안다.
🔎 예: $x^2 - 5x + 6 = 0$
$a=1, b=-5, c=6$ → 합 $\alpha+\beta = -\frac{-5}{1} = 5$, 곱 $\alpha\beta = \frac{6}{1} = 6$.
실제 근은 $x=2, 3$ → 합 $2+3=5$ ✓, 곱 $2\times 3 = 6$ ✓.
💡 활용
두 근을 알면 방정식을
거꾸로 만들 수도 있다: 합이 $s$, 곱이 $p$ 인 두 근을 갖는 이차방정식은 $x^2 - sx + p = 0$.
🧩 대칭식은 합과 곱으로 바꾼다
두 근 $\alpha, \beta$ 의 대칭식은 근을 직접 구하지 않고
합 $s = \alpha+\beta$ 와 곱 $p = \alpha\beta$ 로 바꿔 계산한다.
$\alpha^2 + \beta^2 = s^2 - 2p$
$\alpha^3 + \beta^3 = s^3 - 3ps$
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{s}{p}$
$(\alpha - \beta)^2 = s^2 - 4p$
빼는 항의 계수(2인지 3인지)와, 세제곱에서 빼는 항에 $s$ 가
한 번 더 곱해져 있다는 것이 실점 지점이다. 근이 허근이어도 합과 곱은 실수라 이 계산이 그대로 통한다.
➕➖ 두 근의 부호 조건 — 확인할 것이 셋
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a \gt 0$)의
두 근이 모두 양수일 조건은 세 가지를 함께 만족하는 것이다.
① 실근일 것: $D \ge 0$ ② 합이 양수: $\alpha+\beta \gt 0$ ③ 곱이 양수: $\alpha\beta \gt 0$
두 근이 모두 음수면 ①③은 같고 ②만 $\alpha+\beta \lt 0$ 으로 바뀐다.
부호가 서로 다르면 곱이 음수($\alpha\beta \lt 0$)라는 것 하나로 정해진다(그때 $D \gt 0$ 은 저절로 성립).
합이 $-\dfrac{b}{a}$ 라는
마이너스를 빠뜨리면 조건의 방향이 통째로 뒤집힌다.
↔️ 근을 옮긴 방정식 만들기
두 근이 $\alpha, \beta$ 인 방정식에서
근을 옮긴 새 방정식은 새 합과 새 곱을 구해 $x^2 - (\text{합})x + (\text{곱}) = 0$ 에 넣는다.
예 — $x^2 - 3x + 5 = 0$ 의 두 근에 각각 1을 더한 것을 근으로 하는 방정식: 새 합 $= (\alpha+\beta) + 2 = 5$, 새 곱 $= \alpha\beta + (\alpha+\beta) + 1 = 5 + 3 + 1 = 9$ 이므로 $x^2 - 5x + 9 = 0$.
더 빠른 길: 근이 1씩 커졌으므로 원래 식의 $x$ 자리에 $x - 1$ 을 넣어도 같은 결과가 나온다.
곱을 전개할 때
교차항 $(\alpha+\beta)$ 를 빠뜨리는 것과, 합 앞의
마이너스를 놓치는 것이 실점 지점이다.