Ⅱ. 방정식과 부등식 · 이차함수와 이차방정식·부등식

📈 이차함수와 이차방정식·부등식

포물선 하나로 방정식·부등식이 한눈에

📋 포물선의 힘

💥 왜 배우나
공을 던지면 포물선을 그리고, 분수·다리·위성 안테나도 포물선이다. 이차함수 $y = ax^2+bx+c$ 의 그래프 하나만 있으면, 이차방정식의 해도 이차부등식의 범위도 한눈에 읽힌다.
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포물선은 왜 특별할까 — 초점의 성질
포물선은 한 초점으로 들어온 평행한 빛(전파)을 모두 모으는 성질이 있다. 그래서 위성 안테나·자동차 헤드라이트·태양열 집열판이 전부 포물선(면) 모양이다.

📈 이차함수 그래프 — 직접 조작

$y = ax^2 + bx + c$ 의 $a, b, c$ 를 움직여 포물선이 어떻게 변하는지, 판별식 $D$ 와 x축 교점이 어떻게 연결되는지 보자.

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🔑 읽는 법
• $a$ 의 부호: $a>0$ 아래로 볼록(∪), $a<0$ 위로 볼록(∩) · $|a|$ 클수록 폭 좁음
• 꼭짓점 $x = -\dfrac{b}{2a}$ · x축 교점 = 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 실근
• 판별식 $D=b^2-4ac$: $D>0$ 두 점, $D=0$ 한 점(접함), $D<0$ 안 만남
📏 범위가 있으면 — 꼭짓점이 안인지 먼저
정의역이 $0 \le x \le 3$ 처럼 제한되면 최대·최소를 이렇게 찾는다.
① 꼭짓점의 $x$ 가 구간 안에 있는지 본다. 있으면 그 값이 최소(아래로 볼록일 때)다.
② 그다음 양 끝점의 함숫값을 구해 비교한다.
예 — $y = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3$ 을 $0 \le x \le 3$ 에서 보면 꼭짓점 $x = 2$ 가 구간 안이라 최솟값 $-3$, 끝점은 $f(0) = 1$, $f(3) = -2$ 라 최댓값 1.
꼭짓점이 구간 밖이면 최대·최소가 둘 다 끝점에서 나온다.
↔️ 평행이동 = 꼭짓점 옮기기
그래프를 $x$ 축 방향으로 $m$, $y$ 축 방향으로 $n$ 만큼 옮기면 꼭짓점도 그만큼 움직인다.
예 — $y = x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 + 3$ 의 꼭짓점 $(2, 3)$ 을 $x$ 축 방향 $-1$, $y$ 축 방향 $+2$ 만큼 옮기면 $(1, 5)$.
식으로 확인할 때는 $x$ 자리에 $x - m$ 을 넣는다 — 왼쪽으로 1만큼 옮기면 식에서는 $x + 1$ 이 되어 부호가 반대로 보인다. 밖에 더해지는 $n$ 은 방향이 그대로다.
(규칙으로서의 평행이동은 공통수학2 '도형의 이동'에서 다시 다룬다.)
🧷 꼭짓점 꼴로 식 세우기 — 지나는 점으로 a를 정한다
꼭짓점이 $(p, q)$ 이면 $y = a(x-p)^2 + q$ 로 놓는다. 꼭짓점만으로는 폭($a$)이 정해지지 않으므로 지나는 점 하나를 대입해 $a$ 를 구한다.
예 — 꼭짓점 $(1, -4)$ 이고 점 $(3, 4)$ 를 지나면 $a(3-1)^2 - 4 = 4$ → $4a = 8$ → $a = 2$. 식은 $y = 2(x-1)^2 - 4 = 2x^2 - 4x - 2$.
마지막 전개에서 상수항 두 개($a p^2$ 과 $q$)를 함께 더하는 자리, 그리고 $(x - p)$ 의 부호가 실점 지점이다.

🔗 이차함수와 이차방정식

✅ 그래프 ↔ 방정식
이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 바로 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 실근이다.
판별식 $D$그래프와 x축이차방정식의 근
$D>0$서로 다른 두 점에서 만남서로 다른 두 실근
$D=0$한 점에서 접함중근
$D<0$만나지 않음실근 없음(두 허근)
💡 그래서 판별식이 강력하다
방정식을 풀지 않고 $D$ 의 부호만 봐도, 그래프가 x축과 몇 번 만나는지(=실근이 몇 개인지)를 안다. 복소수·이차방정식의 판별식이 여기서 그림으로 완성된다.
🎯 포물선과 직선 — 연립해서 판별식
두 그래프의 위치 관계는 연립해서 만든 이차방정식의 판별식으로 정해진다.
$D \gt 0$ 서로 다른 두 점에서 만남 · $D = 0$ 한 점에서 접함 · $D \lt 0$ 만나지 않음.
예 — $y = x^2 + 2$ 와 $y = 4x + k$ 를 연립하면 $x^2 - 4x + (2-k) = 0$ 이고 $D/4 = 2 + k$. 두 점에서 만나려면 $k \gt -2$.
접점의 좌표는 $D = 0$ 일 때의 중근이다. $x^2 - 3x = x + k$ 에서 $x^2 - 4x - k = 0$, $D/4 = 4 + k = 0$ → $k = -4$, 그때 $(x-2)^2 = 0$ 이라 접점의 $x$ 좌표는 2.
y절편이나 기울기를 비교하는 것으로는 만나는 점의 개수를 알 수 없다.

⚖️ 이차부등식

✅ 부등식의 해 = 그래프의 범위
$ax^2+bx+c > 0$ 의 해 = 그래프가 x축보다 위에 있는 $x$ 의 범위.
$ax^2+bx+c < 0$ 의 해 = 그래프가 x축보다 아래에 있는 $x$ 의 범위.
🔎 예: $x^2 - 5x + 6 > 0$
인수분해하면 $(x-2)(x-3)>0$. 그래프($a>0$, 아래로 볼록)는 두 근 $2, 3$ 바깥에서 x축 위에 있다.
→ 해: $x<2$ 또는 $x>3$.

반대로 $(x-2)(x-3)<0$ (x축 아래) → 두 근 사이 → 해: $2<x<3$.
🔑 요령
아래로 볼록($a>0$)일 때: >0 은 두 근 바깥, <0 은 두 근 사이. 그래프를 그려 x축 위/아래를 보면 헷갈리지 않는다.
🔙 해가 주어지면 — 인수 꼴로 되돌린다
이차부등식의 해의 양 끝이 곧 두 근이다. 해가 $-1 \lt x \lt 3$ 이면 두 근이 $-1, 3$ 이고 아래로 볼록하며 두 근 사이가 해이므로 $(x+1)(x-3) \lt 0$, 전개하면 $x^2 - 2x - 3 \lt 0$.
따라서 $x^2 + ax + b \lt 0$ 과 비교하면 $a = -2$, $b = -3$.
근과 계수의 관계로 확인: 합 $-1 + 3 = 2 = -a$, 곱 $(-1) \times 3 = -3 = b$. 합에만 마이너스가 붙는다.
🚫 해를 갖지 않을 조건
아래로 볼록한 $ax^2+bx+c \lt 0$ ($a \gt 0$)이 해를 갖지 않는다는 것은 그래프가 x축 아래로 내려가지 않는다는 뜻이므로 $D \le 0$ 이다. 접하는 경우($D = 0$)도 값이 0일 뿐 음수가 되지 않으므로 포함된다.
예 — $x^2 - 2x + k \lt 0$ 이 해를 갖지 않을 조건은 $D/4 = 1 - k \le 0$ → $k \ge 1$. $k = 1$ 이면 $(x-1)^2 \lt 0$ 으로 해가 없고, $k = 0$ 이면 $0 \lt x \lt 2$ 라는 해가 생긴다.
반대로 모든 실수에서 성립($\gt 0$)할 조건은 $D \lt 0$ 이다 — 등호가 들어가는지는 문제의 부등호가 $\gt$ 인지 $\ge$ 인지로 갈린다.

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것
  1. 이차함수 그래프는 포물선. $a$ 의 부호가 볼록 방향, 꼭짓점 $x=-\dfrac{b}{2a}$.
  2. 그래프의 x축 교점 = 이차방정식의 실근, 교점 수는 판별식 $D$ 로 결정.
  3. 이차부등식의 해는 그래프가 x축 위/아래인 범위 — 그림으로 읽으면 쉽다.
💡 인사이트 — 최적화의 씨앗
이차함수의 꼭짓점은 최댓값 또는 최솟값을 준다. "비용을 최소로", "이익을 최대로" 같은 최적화 문제의 가장 기본형이 이차함수다 — 경제·공학·AI가 다루는 최적화의 출발점.
🏠 우리 곁의 포물선
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공의 궤적
포물선 운동
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위성 안테나
전파를 초점에 모음
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분수·다리
포물선 아치
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헤드라이트
빛을 평행하게
🏭 산업과 직업
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최적화·데이터·AI
이차함수는 최적화의 기본형. AI 학습(손실 최소화)도 여기서 출발.
🎓 데이터사이언스 · 산업공학 · 수학
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통신·광학
포물면 안테나·반사경 설계.
🎓 전자 · 광공학
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건축·토목
포물선 아치·구조 설계.
🎓 건축 · 토목공학

🔥 이차함수 퀴즈

문제 1 / 10점수 0 / 10

✅ 정리

핵심
$y=ax^2+bx+c$: $a$ 부호=볼록 방향, 꼭짓점 $x=-\dfrac{b}{2a}$
x축 교점 = 이차방정식 실근, 교점 수 = 판별식 $D$ 부호
이차부등식 해 = 그래프가 x축 위($>0$)/아래($<0$)인 범위
🔑 한 줄 요약
포물선 그래프 하나로 이차방정식의 근(x축 교점)과 이차부등식의 해(x축 위/아래 범위)를 모두 읽는다.

자가 점검

약점 태그

수학:이차함수수학:포물선수학:판별식수학:이차부등식
➡️ 다음 단원
여러 가지 방정식·부등식(제작 예정)으로. 공통수학1 허브로.