절댓값 기호 $|\ |$만 보면 손이 멈추나요? 그럴 수 있어요. 교과서는 "케이스를 나누어라"라고만 하는데, 왜 나누는지는 안 알려주거든요. 절댓값은 그냥 거리예요. 그리고 절댓값 그래프는 그냥 접기예요. 이 두 그림만 몸에 넣으면 케이스 나누기가 저절로 나와요.
직선 $y=x-a$가 있어요. 접기 버튼을 누르면 $x$축 아래로 내려간 부분이 위로 접혀 올라와요. 그 결과가 $y=|x-a|$ 예요. 슬라이더로 $a$와 가로선 $y=b$를 움직여 보세요.
접힌 그래프는 V자예요. V의 꼭짓점은 $x=a$, 즉 절댓값 안이 0이 되는 곳이에요. 가로선 $y=b$ ($b>0$)와 만나는 두 점은 꼭짓점에서 좌우로 $b$만큼 떨어져 있어요. 그래서 $|x-a|=b$의 해는 $x=a-b$와 $x=a+b$. 절댓값은 "거리", 이게 전부예요.
$|x-3|=2$ 의 두 해의 합은? (3에서 거리가 2인 두 점)
절댓값의 정의는 "부호를 떼라"가 아니라 "음수면 $-1$을 곱해서 양수로 만들어라"예요. 이게 케이스 나누기의 전부예요: 안이 $0$ 이상이면 그대로, 음수면 부호를 바꿔서 벗긴다.
방정식 $|x-a|=b$는 "$a$에서 거리가 $b$인 점"이니까 두 개예요. 부등식은 거리가 $b$보다 가까운 곳(사이)과 먼 곳(바깥)으로 읽어요.
절댓값이 두 개면 경계가 두 개예요. $|x-a|+|x-b|$는 "두 점 $a, b$까지의 거리의 합"이에요. $a$와 $b$ 사이에 있으면 합이 항상 $|a-b|$로 일정하고(줄자를 생각해 보세요), 밖으로 나가면 커져요. 그래서 최솟값은 $|a-b|$.
그래프는 접기예요. $y=|f(x)|$는 $y=f(x)$에서 $x$축 아래를 위로 접은 것. $y=|x-a|+k$는 V자를 위로 $k$만큼 올린 것이라 꼭짓점이 $(a,k)$, 최솟값이 $k$예요.
부등식 $|x+1|<3$ 을 만족시키는 정수 $x$의 개수는? ($-1$에서 거리가 3보다 가까운 곳)
절댓값이 두 개 이상이면 표를 그려요. ① 안이 0이 되는 경계를 전부 찾고 ② 수직선을 구간으로 나눈 뒤 ③ 구간마다 각 절댓값의 부호를 적고 벗겨요. 예: $|x-1|+|x-4|$.
| 구간 | $x-1$ | $x-4$ | 벗긴 식 |
|---|---|---|---|
| $x<1$ | $-$ → $-(x-1)$ | $-$ → $-(x-4)$ | $-2x+5$ |
| $1\le x<4$ | $+$ → $x-1$ | $-$ → $-(x-4)$ | $3$ (일정!) |
| $x\ge4$ | $+$ → $x-1$ | $+$ → $x-4$ | $2x-5$ |
표를 머릿속에 그리는 연습이에요. 두 절댓값의 합의 최솟값은 표의 가운데 구간 값이에요.
네 가지 유형 모두 거리로 읽기 → 수직선에 표시 → 답 순서예요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.
어떤 유형인지 알려주지 않아요. 거리로 읽고 수직선에 그려서 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.
if / else와 같아요. 경계를 먼저 찾고 구간마다 규칙을 적는 사고는 어디서나 쓰여요.단원 앱으로 이어서 → 여러 가지 방정식·부등식 · 도형의 이동(대칭)