방정식이 삼차·사차로 커지고, 미지수가 둘로 늘고, 절댓값이 끼어들어도 두려워 말자. 인수분해(쪼개기)와 대입(하나로 줄이기)이라는 두 무기면 다 풀린다. 실제로 예산·시간 같은 제약(부등식) 아래 최선을 찾는 것이 세상의 문제 대부분이다.
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부등식 = 제약, 그리고 최적화
"예산은 100만 원 이하", "시간은 8시간 이내" — 현실의 조건은 대부분 부등식이다. 여러 부등식이 만드는 가능한 영역 안에서 최선을 찾는 것이 선형계획법이고, 물류·생산·투자의 핵심 도구다.
🔺 고차방정식 — 인수분해로
삼차·사차 방정식은 인수정리로 인수를 하나 찾아 차수를 낮춰 가며 푼다. (앞 단원 다항식의 인수분해가 여기서 쓰인다.)
문제: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ 을 푸시오.
1$x=1$ 대입: $1-6+11-6 = 0$ → $(x-1)$ 이 인수 (인수정리).
2$(x-1)$ 로 나눠(조립제법) 몫: $x^2 - 5x + 6$.
3$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
$(x-1)(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1,\ 2,\ 3$
🔑 요령
대입할 값은 상수항의 약수 ÷ 최고차항 계수의 약수 중에서 찾는다(유리근 후보). 여기선 상수항 $-6$ 의 약수 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ 을 하나씩 넣어 본다.
🔤 치환 — 놓고, 풀고, 되돌린다
$x$ 의 짝수 차수만 있는 사차식은 $t = x^2$ 으로 놓으면 이차방정식이 된다. 예 — $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ 에서 $t^2 - 13t + 36 = (t-4)(t-9) = 0$ → $t = 4$ 또는 $9$. 되돌리면 $x^2 = 4$ 에서 $x = \pm 2$, $x^2 = 9$ 에서 $x = \pm 3$ — 근이 네 개다. 실점 지점은 ③ 되돌리기다. $t$ 의 값에서 멈추거나, 제곱근의 ± 두 개 중 하나만 챙기면 답이 절반이 된다. ($t$ 가 음수면 그 쪽에서는 실근이 나오지 않는다.)
🔗 연립방정식 — 하나로 줄이기
미지수가 둘이면, 한 식을 다른 식에 대입(대입법)하거나 더하고 빼서 한 변수를 없앤다(가감법). 결국 미지수 하나짜리로 줄여 푼다.
문제: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
1두 식을 더하면 $y$ 가 사라진다: $(x+y)+(2x-y) = 5+1$ → $3x = 6$.
2$x = 2$.
3$x=2$ 를 $x+y=5$ 에 대입: $2 + y = 5$ → $y = 3$.
$x = 2,\ y = 3$
✅ 검산
$x+y = 2+3 = 5$ ✓, $2x-y = 4-3 = 1$ ✓. 두 식을 모두 만족하면 정답.
🔗 합과 곱으로 줄이는 연립 — x, y가 대칭일 때
$x + y$ 와 $x^2 + y^2$ 처럼 $x$ 와 $y$ 를 바꿔도 같은 식이면, 합과 곱을 구해 이차방정식 하나로 줄인다. $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 에서 곱을 얻는다. 예 — $x + y = 5$, $x^2 + y^2 = 13$ 이면 $25 = 13 + 2xy$ → $xy = 6$. 합이 $s$, 곱이 $p$ 인 두 수는 $t^2 - st + p = 0$ 의 두 근이므로 $t^2 - 5t + 6 = 0$ → $t = 2, 3$. 따라서 해는 $(x, y) = (2, 3)$ 과 $(3, 2)$ — 맞바꾼 쌍도 해라는 것을 빠뜨리지 않는다.
⬇️ 일차식을 이차식에 대입하기
한 식이 일차식이면 그것을 다른 식에 통째로 넣어 미지수 하나짜리로 만든다. 예 — $y = x - 1$, $x^2 + y^2 = 25$. ① 대입: $x^2 + (x-1)^2 = 25$ ② 정리: $2x^2 - 2x - 24 = 0$ → $x^2 - x - 12 = 0$ → $(x-4)(x+3) = 0$ ③ $x = 4$ 또는 $x = -3$, 각각을 원래 일차식에 넣어 $y = 3$, $y = -4$. 답이 두 쌍 나오면 문제의 조건(예: $x \gt 0$)으로 걸러 내고, 구한 $x$ 를 이차식이 아니라 일차식에 넣는 것이 실수를 줄인다.
⚖️ 여러 가지 부등식
✅ 절댓값 부등식
$|x| < a$ ($a>0$) $\iff -a < x < a$ (원점에서 거리가 $a$ 보다 가까움)
$|x| > a$ ($a>0$) $\iff x < -a$ 또는 $x > a$ (거리가 $a$ 보다 멂)
연립일차부등식 — 공통 범위
두 부등식을 동시에 만족하는 $x$ = 각 해의 공통 부분(교집합). 수직선으로 보자.
⚠️ 부등식의 함정
부등식 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다. 예: $-2x < 6$ 의 양변을 $-2$ 로 나누면 $x > -3$ (방향 반대!).
🪓 절댓값 벗기기 — 경우를 나누고 범위를 확인한다
우변이 상수가 아니라 $x$ 를 포함하면 반드시 경우를 나눈다. 예 — $|x - 2| = 3x$ ① $x \ge 2$ 이면 $x - 2 = 3x$ → $x = -1$ 인데 $x \ge 2$ 를 만족하지 않으므로 버린다. ② $x \lt 2$ 이면 $2 - x = 3x$ → $x = \dfrac{1}{2}$, 조건을 만족하므로 해다. 얻은 값이 그 경우의 범위 안에 있는지 매번 확인한다. 또 좌변 $|\ |$ 는 0 이상이므로 우변도 0 이상이어야 한다는 점으로도 걸러 낼 수 있다.
🔍 연립부등식이 해를 가질 조건
$x \gt a$ 와 $x \lt b$ 를 동시에 만족하는 $x$ 가 있으려면 아래 끝이 위 끝보다 작아야 한다: $a \lt b$. 예 — $x \gt a$, $x \lt 2a - 3$ 이 해를 가지려면 $a \lt 2a - 3$ → $a \gt 3$. $a = 3$ 이면 $x \gt 3$ 이면서 $x \lt 3$ 이라 해가 하나도 없으므로 등호는 빠진다. 끝이 같아지는 값을 직접 넣어 해가 있는지 확인하면 등호를 넣을지 말지가 분명해진다. (양 끝에 등호가 붙은 $a \le x$, $x \le b$ 라면 $a = b$ 일 때 해가 한 개 생겨 등호가 들어간다.)
🌐 세상 속으로
📌 어른이 되어도 기억할 것
고차방정식은 인수분해(인수정리)로, 연립방정식은 대입·가감으로 푼다.
절댓값 부등식: $|x|<a \iff -a<x<a$, $|x|>a \iff x<-a$ 또는 $x>a$.
부등식 양변에 음수를 곱/나누면 부등호가 뒤집힌다. 연립부등식의 해는 공통 범위.
💡 인사이트 — 제약 속에서 최선 찾기
현실의 문제는 대부분 "여러 제약(부등식) 아래 무엇을 최대/최소로?"다. 예산·시간·자원의 부등식이 만드는 가능 영역에서 최선을 찾는 것이 최적화다. 이 사고가 경영·물류·AI를 움직인다.
🏠 우리 곁의 방정식·부등식
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예산 짜기
지출 ≤ 예산 (부등식)
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시간표
여러 조건 동시 만족
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영양 균형
범위 조건(부등식)
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배송 최적화
제약 하 최소 비용
🏭 산업과 직업
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최적화·운영(OR) 부등식 제약 하에서 최적해를 찾는 선형계획법이 물류·생산·투자에 핵심. 🎓 산업공학 · 데이터사이언스 · 경영과학
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금융·리스크 여러 제약 조건을 만족하는 포트폴리오 설계. 🎓 금융공학 · 통계 · 수학
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AI·제어 제약 만족 문제·최적화가 학습·계획의 기반. 🎓 컴퓨터공학 · 응용수학
🔥 여러 방정식·부등식 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리
핵심
고차방정식: 인수정리로 인수분해 → 낮은 차수로
연립방정식: 대입·가감으로 미지수 하나로 줄임
$|x|<a \iff -a<x<a$ · $|x|>a \iff x<-a$ 또는 $x>a$
음수 곱/나눗셈 → 부등호 뒤집힘 · 연립부등식 = 공통 범위
🔑 한 줄 요약
복잡한 방정식은 인수분해·대입으로 단순화하고, 부등식은 부호 규칙과 공통 범위로 해결한다.