복잡한 식도 곱셈 공식으로 펼치고, 인수분해로 조각내면 다룰 수 있다. 인수분해는 방정식을 푸는 만능 열쇠다. 놀랍게도 "큰 수를 소인수로 쪼개기 어렵다"는 성질은 인터넷을 지키는 암호(RSA)의 토대가 된다.
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파스칼의 삼각형
$(a+b)^n$ 을 전개하면 각 항의 계수가 파스칼의 삼각형(1, 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1 …)과 정확히 일치한다. 예: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 의 계수 1, 2, 1. 규칙을 알면 외울 필요가 줄어든다.
🧮 다항식의 연산과 곱셈 공식
다항식의 덧셈·뺄셈은 동류항끼리, 곱셈은 분배법칙으로 한다. 자주 쓰는 곱셈 공식은 외워 두면 빠르다. 카드를 눌러 전개 결과를 확인하자.
🔑 곱셈 공식은 "인수분해의 반대"
곱셈 공식은 펼치기($ (a+b)^2 \to a^2+2ab+b^2 $), 인수분해는 그 거꾸로($ a^2+2ab+b^2 \to (a+b)^2 $)다. 같은 공식을 양방향으로 쓴다.
➖ 부호가 번갈아 나오는 세제곱
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 과 짝을 이루는 것이 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ 이다. 부호가 +, −, +, − 로 번갈아 나온다. 괄호 안의 계수도 함께 거듭제곱된다는 것이 실점 지점이다. $(2x-3y)^3$ 에서 $xy^2$ 항은 $3ab^2 = 3\cdot(2x)\cdot(3y)^2 = 3\cdot 2x\cdot 9y^2 = 54xy^2$ — $(3y)^2$ 은 $9y^2$ 이지 $3y^2$ 이 아니다. 전개가 끝나면 $x = y = 1$ 을 넣어 원래 식과 값이 같은지 확인한다.
🔄 곱셈 공식을 거꾸로 쓰기 — x + 1/x 꼴
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ — 가운데 항 $2ab$ 가 $2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x} = 2$ 로 문자 없이 상수가 되는 것이 핵심이다. 그래서 $x + \dfrac{1}{x} = 3$ 이면 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3^2 - 2 = 7$. 같은 방법으로 $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2}$ 이므로 이쪽은 2를 더한다. 더할지 뺄지는 괄호 안의 부호로 정해진다.
🔺 문자 세 개의 세제곱 공식
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ 차수를 먼저 본다 — 좌변이 삼차이므로 일차 × 이차로 갈라진다. 둘째 인수의 교차항은 모두 음수다. 확인법: $a = b = c$ 를 넣으면 좌변이 $3a^3 - 3a^3 = 0$ 이고 우변도 둘째 인수가 0이 된다. 이것으로 첫째 인수가 $a+b+c$ 임을 되짚을 수 있다. 짝이 되는 공식: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ — 가운데 항의 부호가 반대다.
➗ 나머지정리와 인수정리
✅ 나머지정리
다항식 $P(x)$ 를 $(x-a)$ 로 나눈 나머지는 $P(a)$ 와 같다. 즉, 직접 나눌 필요 없이 $x=a$ 를 대입하면 나머지를 안다.
아래 $P(x)$ 에 대해 $a$ 를 골라 $P(a)$(=나눈 나머지)를 계산해 보자.
$P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$
✅ 인수정리
$P(a) = 0$ 이면 $(x-a)$ 는 $P(x)$ 의 인수다 (그 반대도 성립). 즉 대입해서 0이 되는 값을 찾으면 인수를 하나 찾은 것 — 이것이 고차식 인수분해의 열쇠.
🧾 나눗셈 정리 — 먼저 이 한 줄을 적는다
$P(x) = (\text{나누는 식}) \times (\text{몫}) + (\text{나머지})$, 그리고 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 낮다. 일차식으로 나누면 나머지는 상수, 이차식으로 나누면 나머지는 일차 이하($ax+b$)다. 이 한 줄을 적어 두면 대입만으로 다른 나눗셈의 나머지가 나온다. 예 — $P(x)$ 를 $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$ 로 나눈 나머지가 $2x+1$ 이면, $P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + 2x + 1$ 에 $x = 1$ 을 넣어 $P(1) = 3$ 이므로 $x-1$ 로 나눈 나머지는 3이다.
✌️ 이차식으로 나눈 나머지 — ax + b 로 놓고 연립
$P(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지가 3, $x+2$ 로 나눈 나머지가 −6 일 때 $(x-1)(x+2)$ 로 나눈 나머지를 구해 보자. ① 나머지를 $ax+b$ 로 놓는다: $P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b$. ② $x = 1$ 을 넣으면 $a + b = 3$, $x = -2$ 를 넣으면 $-2a + b = -6$. ③ 두 식을 빼면 $3a = 9$ 이므로 $a = 3,\ b = 0$ — 나머지는 $3x$. 나머지를 상수로 놓으면 두 조건을 동시에 만족시킬 수 없다.
⚖️ 항등식 — 모든 x에서 성립하면 계수가 각각 같다
등식이 모든 $x$ 에 대하여 성립하면 양변의 같은 차수 계수가 각각 같다(계수 비교법). 또는 $x$ 에 편한 값을 넣어 미지수를 구해도 된다(수치 대입법). 예 — $x^3 + ax^2 + bx + c = (x-1)(x-2)(x+3)$ 이면 우변을 전개해 $x^3 - 7x + 6$ 이므로 $a = 0,\ b = -7,\ c = 6$. 전개가 끝나면 $x$ 에 아무 값이나(예: $x = 1$) 넣어 양변이 같은지 확인한다 — 계수 실수가 바로 드러난다.
🧩 인수분해 — 단계별
인수분해는 곱셈 공식을 거꾸로 쓰거나, 인수정리로 인수를 찾아 낮춰 간다. 예제를 단계별로 풀어 보자.
문제: $x^3 - 7x - 6$ 을 인수분해하시오.
1대입해서 0이 되는 값 찾기: $x=-1$ 이면 $(-1)^3-7(-1)-6 = -1+7-6 = 0$.
→ 인수정리로 $(x+1)$ 이 인수임을 알았다.
2$(x+1)$ 로 나눠(조립제법) 몫을 구하면 $x^2 - x - 6$.
→ 차수가 3에서 2로 낮아졌다.
3남은 이차식 인수분해: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.
→ 곱이 $-6$, 합이 $-1$ 인 두 수 $-3, +2$.
$x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x+2)(x-3)$
⚠️ 흔한 실수
인수분해를 다 끝냈는지 확인하기. 이차식이 또 인수분해될 수 있는데 멈추면 안 된다. 각 인수가 더 쪼갤 수 없을 때까지 진행.
🪜 조립제법 — 차수를 한 칸 낮추는 표
$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ 을 $x + 1$ 로 나눠 보자. $P(-1) = 0$ 이므로 $x+1$ 이 인수다.
−1 | 1 2 −5 −6 | −1 −1 6 ————————————— 1 1 −6 0
맨 아래 줄의 앞 세 수가 몫의 계수($x^2 + x - 6$), 마지막 수가 나머지(0)다. 방법은 "내려 쓰고 → 곱해 올리고 → 더한다"의 되풀이다. 대입한 값이 $a$ 면 인수는 $(x - a)$ 다 — 여기서는 $a = -1$ 이므로 $(x+1)$. 부호가 반대라는 것을 놓치지 않는다.
🧱 제곱의 차를 만들어 가르기 — 복이차식
$x^4 + 4$ 는 합·차 공식으로 바로 갈라지지 않는다. 필요한 항을 더했다 빼서 제곱의 차를 만든다. $x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ 확인: $x = 1$ 을 넣으면 좌변 5, 우변 $1 \times 5 = 5$. 더한 만큼 반드시 다시 빼야 하고, 마지막에 두 인수의 상수항이 같은지(여기서는 둘 다 +2) 확인한다 — 갈라지는 것은 $2x$ 의 부호뿐이다. $x^4 + x^2 + 1$ 도 같은 방법으로 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ 이 된다.