제곱해서 9가 되는 수는 무엇일까요? 그 질문 하나에서 새로운 수 √가 태어나요.
3² = 9, 그리고 (−3)² = 9. 부호가 달라도 제곱하면 같은 양수가 돼요. 이 단원은 그 반대 방향 — 제곱한 결과에서 원래 수를 거꾸로 찾는 이야기예요.
어떤 수 x를 제곱해서 a가 될 때(x² = a), x를 a의 제곱근이라고 해요. 9의 제곱근은 3과 −3, 두 개예요.
✔ 양수의 제곱근은 두 개 — 절댓값이 같고 부호만 달라요.
✔ 0의 제곱근은 0 하나뿐이에요.
✔ 음수의 제곱근은 없어요 — 어떤 수를 제곱해도 0보다 작아질 수는 없으니까요.
a가 1, 4, 9, 16, …(제곱수)일 때만 √a가 정수 눈금에 딱 올라가요. 나머지는 눈금 사이에 있어요 — 그래도 분명히 수직선 위의 한 점이에요.
25의 제곱근은 5와 −5라고 쓰면 되지만, 7의 제곱근은 정수로 쓸 수가 없어요. 그래서 기호를 만들었어요. √7은 "제곱해서 7이 되는 양수", −√7은 그 음수예요. 둘을 합쳐 ±√7이라고 써요.
⚠️ 말이 비슷해서 자주 헷갈려요.
· a의 제곱근 = 제곱해서 a가 되는 수 전부 → ±√a (두 개)
· 제곱근 a = √a 하나 (양수 쪽만)
√5는 "제곱하면 5가 되는 수"니까 (√5)² = 5예요. (−√5)² = 5도 마찬가지고요. 거꾸로 √(3²) = √9 = 3, 그리고 √((−3)²) = √9 = 3 — 근호 안에 음수를 제곱해 넣어도 나오는 값은 양수예요. 근호는 늘 양수 쪽만 가리키니까요.
√2 = 1.41421356… — 끝나지도, 반복되지도 않아요. 지금까지 배운 수(유리수)는 전부 분수 꼴로 쓸 수 있었는데, √2는 그게 안 돼요. 이런 수를 무리수라고 해요. π도 무리수예요.
단, 근호가 붙었다고 다 무리수는 아니에요. √9 = 3, √(4/25) = 2/5 — 근호 안이 제곱수면 근호가 벗겨져서 유리수예요. 유리수와 무리수를 합쳐 실수라 하고, 실수는 수직선을 빈틈없이 채워요.
양수끼리는 a < b 이면 √a < √b 예요. 근호가 없는 수와 비교할 땐 근호 안으로 넣어서 비교해요 — 3 = √9 이니까 √8 < 3. 음수끼리는 반대예요: √2 < √3 이면 −√2 > −√3.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
25의 제곱근은 개이고, 제곱근 25는 예요.
25의 제곱근은 2개(5와 −5)이고, 제곱근 25는 5예요.
"a의 제곱근"은 질문이에요 — "제곱해서 a가 되는 수는?" 답이 둘이죠. "제곱근 a"는 이름이에요 — √a라는 수 하나를 부르는 말이에요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
🌱 제곱근·무리수 — √2 는 넓이가 2인 정사각형의 한 변이에요