중3단원 5심화 탐구

포물선 조종하기

a, p, q 세 개의 손잡이로 포물선을 마음대로 움직여 봐요. 그리고 왜 괄호 안 부호가 반대인지, 대칭은 어디서 오는지 확인해요.

이 페이지엔 채점 문제가 거의 없어요. 슬라이더를 움직이며 느껴 보세요. 맨 끝에 도전 문제 하나만 있어요.

1큰 그림

y = a(x − p)² + q 의 손잡이 세 개

a는 모양(볼록 방향·폭), p는 좌우 자리, q는 위아래 자리예요. 세 개를 따로따로 움직이면 각각 무엇을 바꾸는지 눈으로 보여요.

포물선 조종실 · a, p, q 를 바꿔 볼까요?

회색 점선은 y = x². 노란 점이 꼭짓점 (p, q), 세로 점선이 축 x = p 예요.

2왜 부호가 반대일까

y = x² 의 x = 1 에서 y = 1 이에요. 이 점 (1, 1) 을 기억해요.

y = (x − 3)² 에서 같은 y = 1 이 나오려면 괄호 안이 1 이어야 하니 x − 3 = 1, 즉 x = 4. 점 (4, 1).

(1, 1) 이 (4, 1) 로 — 모든 점이 똑같이 오른쪽으로 3 옮겨져요. 꼭짓점도 (0, 0) → (3, 0).

그러니 "x 대신 x − 3 을 넣는다"는 "같은 y를 얻으려면 x가 3 더 필요하다"는 뜻 — 그래프가 오른쪽으로 가요. 부호가 반대인 게 아니라, 괄호 안이 0이 되는 자리가 새 꼭짓점이에요.

3한 걸음 더

포물선은 축 x = p 를 기준으로 접으면 딱 겹쳐요. 축에서 왼쪽으로 d, 오른쪽으로 d 떨어진 두 점은 y값이 같아요. 그래서 한 점을 알면 짝인 점도 공짜로 알 수 있어요.

대칭 짝 실험실 · 거리 d 를 바꿔 볼까요?

축에서의 거리 d2

그래프는 y = ½(x − 1)² − 2, 축은 x = 1.

4도전

꼭짓점이 (2, −1) 이고 점 (4, 7) 을 지나는 이차함수 y = a(x − 2)² − 1 에서 a의 값은?

💡 그래프가 (4, 7) 을 지난다 = x = 4 일 때 y = 7. 식에 넣어요.

💡 7 = a(4 − 2)² − 1 = 4a − 1.

💡 4a = 8.

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