관계를 그림으로. 작년의 정비례(direct proportion)에서 딱 한 걸음.
작년에 정비례를 배웠죠. 예를 들어 y = 2x. x가 1, 2, 3이면 y는 2, 4, 6 — 규칙은 "×2". 그 그래프가 이거예요. 원점(origin) (0, 0)을 지나는 곧은 선.
올해 배울 일차함수는, 여기에 딱 하나 — 어떤 수 b — 를 더한 거예요. y = 2x + 3 처럼. 그게 전부예요.
정비례 그래프는 반드시 원점 (0, 0)을 지나요. 아무것도 안 하면 0이니까요.
그런데 택시를 타면 문을 여는 순간 기본요금이 붙어요 — 아직 1미터도 안 갔는데. 그래서 택시요금 그래프는 0이 아니라 기본요금 높이에서 출발해요. 원점을 안 지나요.
그 "출발 높이"를 정하는 게 바로 b예요. 직접 움직여 봐요.
함수(function)는 x 하나를 넣으면 y가 딱 하나 나오는 규칙이에요. 자판기처럼요 — 같은 버튼(x)엔 늘 같은 음료(y)가 나오죠.
규칙을 f 라 부르고, "x를 넣었을 때 나온 값"을 f(x) 라고 써요. 이걸 함숫값이라 해요. f(x) = 2x + 1 이면 f(2) = 2×2 + 1 = 5 처럼 대입하면 돼요.
일반형 y = ax + b의 a, b 자리에 직접 고른 수가 들어가 y = 2x + 3이 돼요. 같은 식의 두 얼굴 — 빈 자리(일반형)와, 값이 들어간 모습(구체형).
그래프가 두 축과 만나는 점이 특히 중요해요.
y절편 — 그래프가 세로축(y축)과 만나는 곳. x = 0 을 넣으면 나와요. y = ax + b 면 언제나 b.
x절편 — 그래프가 가로축(x축)과 만나는 곳. y = 0 을 넣고 x를 구해요.
움직여 봤으니 알 거예요. 정답 맞히기가 아니라, 직접 이해한 걸 꺼내보는 거예요.
이 그래프에서 a는 를 정하고,
b는 를 정해요.
a는 선의 기울기 — 얼마나 가파른지, 오르막인지 내리막인지 정해요. b는 선이 세로축(y축)과 만나는 높이 — 출발점이에요.
설명이 이거랑 똑같을 필요는 없어요. 자기 말로 설명하면 돼요.
기울기 a는 그냥 가파른 정도가 아니라 변화율이에요 — "x가 1 늘 때 y가 얼마나 느는지". 두 점 사이에서는 기울기 = (y의 변화량) ÷ (x의 변화량) 으로 구해요.
거꾸로, 기울기와 지나는 점(또는 두 점)을 알면 식 y = ax + b 를 만들 수 있어요. 기울기로 a를 정하고, 점을 대입해 b를 구하면 끝이에요.
문제를 만드는 사람이 되면 이해가 굳어져요. 이야기를 지어 봐요.
매일 원씩 모으고, 지금 통장에 원 있어요.
방금 직접 문제를 만들고, 직접 풀었어요. 이게 진짜 이해예요.
개념은 잡았어요. 이제 유형별 연습 문제로 일차함수를 직접 다뤄봐요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
📈 기울기 완전정복 — 오른쪽으로 1칸 갈 때 몇 칸 오르는지가 기울기예요