중2단원 9심화 문제

도전 — 닮음으로 길이·넓이·부피 재기

평행선의 비, 무게중심, 넓이비, 그림자까지. 과정을 글로 남겨 보세요.

각 문제에 단계별 힌트와 풀이 보기가 있어요. 먼저 직접 풀어 보고, 막히면 열어요.

도전 1 · 평행선

평행선이 만든 닮은 삼각형을 이용해요.

삼각형 ABC에서 DE ∥ BC이고 AD = 4, DB = 8, DE = 5일 때, BC는?
BC =
힌트 1닮음비 AD : AB = 4 : 12 = 1 : 3.
힌트 2DE : BC = 1 : 3 → BC = 5 × 3 = 15.

✓ 풀이

  1. AB = 4+8 = 12, 닮음비 AD:AB = 1:3
  2. DE:BC = 1:3 → BC = 15
도전 2 · 무게중심

무게중심이 중선을 2:1로 나눔을 이용해요.

삼각형의 무게중심 G에 대해 AG = 8일 때, 중선 AM의 전체 길이는?
AM =
힌트 1AG : GM = 2 : 1, AG = 8 → GM = 4.
힌트 2AM = 8 + 4 = 12.

✓ 풀이

  1. GM = AG ÷ 2 = 4
  2. AM = AG + GM = 12
도전 3 · 넓이비

닮음비의 제곱이 넓이비임을 이용해요.

닮음비가 2 : 5인 두 삼각형에서 작은 삼각형의 넓이가 12일 때, 큰 삼각형의 넓이는?
큰 넓이 =
힌트 1넓이비 = 2² : 5² = 4 : 25.
힌트 24 : 25 = 12 : x → x = 75.

✓ 풀이

  1. 넓이비 = 4 : 25
  2. 4 : 25 = 12 : x → x = 75
도전 4 · 그림자

닮음을 실생활에 써요(그림자).

길이 2 m인 막대의 그림자가 3 m일 때, 같은 시각 나무의 그림자가 12 m였어요. 나무의 높이는?
나무 높이 =m
힌트 1높이 : 그림자 는 같아요 → 2 : 3 = x : 12.
힌트 2x = 2 × 12 ÷ 3 = 8.

✓ 풀이

  1. 닮은 직각삼각형: 2 : 3 = x : 12
  2. x = 8 m
도전 5 · 중점연결

두 변의 중점을 이은 선의 성질을 이용해요.

삼각형 ABC에서 두 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 할 때, BC = 10이면 MN은? (중점연결정리)
MN =
힌트 1중점연결: MN = ½ × BC.
힌트 2MN = 10 ÷ 2 = 5.

✓ 풀이

  1. 중점연결정리: MN = ½ BC
  2. = 10 ÷ 2 = 5
도전 6 · 부피비

닮음비의 세제곱이 부피비임을 이용해요.

닮음비가 1 : 2인 두 입체에서 작은 입체의 부피가 6일 때, 큰 입체의 부피는?
큰 부피 =
힌트 1부피비 = 1³ : 2³ = 1 : 8.
힌트 26 × 8 = 48.

✓ 풀이

  1. 부피비 = 1 : 8
  2. 6 × 8 = 48
도전 7 · 사다리꼴의 중점연결

두 변의 중점을 이으면 위아래 변의 평균이 나와요.

사다리꼴 ABCD 에서 AD ∥ BC 이고, 변 AB 의 중점을 M, 변 DC 의 중점을 N 이라 해요. AD = 6 cm, BC = 14 cm 일 때 MN 의 길이는?
MN =cm
힌트 1대각선 AC 를 긋고 그 중점을 P 라 하면, 삼각형 ABC 에서 MP = ½ BC = 7 이에요.
힌트 2삼각형 ACD 에서 PN = ½ AD = 3 이므로 MN = MP + PN.

✓ 풀이

  1. 대각선 AC 를 긋고 그 중점을 P 라 해요.
  2. 삼각형 ABC 에서 M, P 가 두 변의 중점이므로 MP = ½ × BC = 7 cm.
  3. 삼각형 ACD 에서 P, N 이 두 변의 중점이므로 PN = ½ × AD = 3 cm.
  4. MN = 7 + 3 = 10 cm — 곧 MN = ½ (AD + BC) 예요.
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