중2단원 7심화 문제

도전 — 각과 원의 중심으로

이등변삼각형의 각부터 외심의 중심각, 내심의 각, 직각삼각형의 외접원·내접원까지. 과정을 글로 남겨 보세요.

각 문제에 단계별 힌트와 풀이 보기가 있어요. 먼저 직접 풀어 보고, 막히면 열어요.

도전 1 · 이등변

이등변삼각형의 밑각을 구해요.

이등변삼각형 ABC에서 AB = AC이고 꼭지각 ∠A = 36°일 때, 한 밑각 ∠B는?
∠B =°
힌트 1두 밑각의 합 = 180 − 36 = 144°.
힌트 2두 밑각은 서로 같으니 144 ÷ 2 = 72°.

✓ 풀이

  1. 두 밑각의 합 = 180 − 36 = 144°
  2. 두 밑각이 같으므로 ∠B = 144 ÷ 2 = 72°
도전 2 · 외심의 중심각

외심에서 생기는 각을 구해요.

삼각형 ABC의 외심을 O라 할 때, ∠A = 55°이면 ∠BOC는? (∠BOC = 2∠A)
∠BOC =°
힌트 1중심각은 원주각의 2배: ∠BOC = 2 × ∠A.
힌트 22 × 55 = 110°.

✓ 풀이

  1. 외접원에서 ∠BOC(중심각) = 2 × ∠A(원주각)
  2. = 2 × 55 = 110°
도전 3 · 내심의 각

내심에서 생기는 각을 구해요.

삼각형 ABC의 내심을 I라 할 때, ∠A = 44°이면 ∠BIC는? (∠BIC = 90° + ½∠A)
∠BIC =°
힌트 1삼각형 BIC에서 ∠BIC = 180 − (∠B + ∠C) ÷ 2이고, ∠B + ∠C = 180 − ∠A.
힌트 2정리하면 ∠BIC = 90 + ∠A ÷ 2 = 90 + 22 = 112°.

✓ 풀이

  1. ∠B + ∠C = 180 − 44 = 136°
  2. 삼각형 BIC: ∠BIC = 180 − (136 ÷ 2) = 180 − 68 = 112°
  3. (공식 90 + ½·44 = 112° 와 같음)
도전 4 · 직각삼각형 외접원

직각삼각형의 외접원을 다뤄요.

세 변이 6, 8, 10인 직각삼각형의 외접원의 반지름은?
외접원 반지름 =
힌트 1직각삼각형의 외심은 빗변의 중점. 빗변은 10.
힌트 2반지름 = 10 ÷ 2 = 5.

✓ 풀이

  1. 가장 긴 변(빗변) = 10
  2. 직각삼각형의 외심 = 빗변의 중점 → 반지름 = 10 ÷ 2 = 5
도전 5 · 직각삼각형 내접원

직각삼각형의 내접원 반지름을 구해요.

세 변이 6, 8, 10인 직각삼각형의 내접원의 반지름은? (넓이 = ½ × 반지름 × 둘레)
내접원 반지름 =
힌트 1삼각형 넓이 = ½ × 6 × 8 = 24. 둘레 = 6 + 8 + 10 = 24.
힌트 2넓이 = ½ × r × 둘레 → 24 = ½ × r × 24 → r = 2.

✓ 풀이

  1. 넓이 = ½ × 6 × 8 = 24
  2. 내접원: 넓이 = ½ × r × (둘레) → 24 = ½ × r × 24
  3. r = 2 (직각삼각형은 r = (6+8−10)/2 = 2 로도 확인)
도전 6 · 복합

이등변삼각형과 외심을 함께 다뤄요.

이등변삼각형 ABC(AB = AC)에서 한 밑각 ∠B = 65°예요. 이 삼각형의 외심을 O라 할 때 ∠BOC는?
∠BOC =°
힌트 1두 밑각이 65°씩이니 꼭지각 ∠A = 180 − 130 = 50°.
힌트 2∠BOC = 2 × ∠A = 2 × 50 = 100°.

✓ 풀이

  1. 밑각 둘이 65° → 꼭지각 ∠A = 180 − 130 = 50°
  2. 외심의 중심각 ∠BOC = 2 × 50 = 100°
도전 7 · 내접원과 넓이

내심에서 세 변까지의 거리가 모두 같다는 것을 넓이에 씁니다.

삼각형 ABC 의 내심 I 에서 세 변까지의 거리가 모두 2 cm 이고, 삼각형의 둘레가 30 cm 이에요. 이 삼각형의 넓이는?
넓이 =cm2
힌트 1내심 I 와 세 꼭짓점을 이으면 높이가 모두 2 cm 인 삼각형 셋이 돼요.
힌트 2세 넓이를 합하면 ½ × 2 × (세 변의 합) = ½ × 2 × 30.

✓ 풀이

  1. 내심에서 세 변까지의 거리가 모두 2 cm 이므로, I 와 세 꼭짓점을 이어 만든 세 삼각형의 높이가 모두 2 cm 예요.
  2. 넓이의 합 = ½ × 2 × (a + b + c) = ½ × 2 × 30 = 30 cm².
  3. 곧 S = r × (둘레의 절반) 이에요.
중2 · 단원 7 · 심화 문제 · 위 탭에서 개념·연습·탐험으로 이동