원기둥의 옆면을 펼치면 어떤 모양이 되나요?
① 원 ② 직사각형 ③ 부채꼴 ④ 사다리꼴
통조림 종이 라벨을 펼치면 어떤 모양이지요?
② 직사각형
원기둥의 옆면 = 곡면을 펼치면 직사각형. 가로 = 밑면 둘레, 세로 = 원기둥 높이.
원뿔의 옆면을 펼치면 어떤 모양이 되나요?
① 원 ② 삼각형 ③ 부채꼴 ④ 사다리꼴
파티 모자를 펼치면?
③ 부채꼴
원뿔 옆면 = 부채꼴. 부채꼴의 반지름 = 원뿔의 모선 $l$, 호 = 밑면 둘레.
⚠️ 삼각형(②)으로 착각하기 쉬워요. 옆면이 곡면이라서 펼치면 부채꼴이 됩니다.
다음 중 전개도가 존재하지 않는 입체는?
① 원기둥 ② 원뿔 ③ 원뿔대 ④ 구
지구본을 평면 지도로 만들면 왜곡이 생기죠?
④ 구
구는 평면에 완전히 펼칠 수 없어요. 그래서 지구본을 평면 지도로 만들 때 왜곡이 발생함 (메르카토르 도법 등).
나머지(원기둥·원뿔·원뿔대)는 모두 전개도 가능.
밑면의 반지름이 $4$ cm 인 원기둥의 옆면 직사각형의 가로의 길이는?
옆면 직사각형의 가로 = 밑면 둘레.
$8\pi$ cm
가로 = 밑면 둘레 = $2\pi r = 2\pi \times 4 = 8\pi$ cm.
⚠️ 반지름 $4$ 그대로 답하면 함정! 옆면 가로는 둘레예요.
밑면의 반지름이 $3$ cm, 모선의 길이가 $9$ cm 인 원뿔의 옆면 부채꼴의 호의 길이는?
부채꼴의 호 = 밑면 둘레. 모선은 부채꼴 반지름이지 호와 무관.
$6\pi$ cm
★ 핵심: 원뿔 옆면 부채꼴의 호 = 밑면 둘레 = $2\pi r = 2\pi(3) = 6\pi$ cm.
모선 9는 부채꼴의 반지름 — 호 길이와 무관해요.
⚠️ 함정: $9 \times 2\pi = 18\pi$ 처럼 모선과 곱하지 않기.
원뿔 옆면 부채꼴의 반지름은 무엇과 같나요?
① 원뿔의 높이 ② 원뿔의 모선 ③ 밑면의 반지름 ④ 밑면의 둘레
옆면 부채꼴을 종이로 만들 때, 부채꼴의 가장자리는 원뿔 위 어디에서 어디까지였나요?
② 원뿔의 모선
옆면 부채꼴을 다시 원뿔로 말 때, 부채꼴의 직선 가장자리는 원뿔 꼭짓점에서 밑면 둘레까지의 선 = 모선 $l$.
그래서 부채꼴 반지름 = 모선.
밑면의 반지름이 $r$, 모선의 길이가 $l$ 인 원뿔의 옆면 부채꼴의 중심각을 $\theta$ 라 할 때, $\theta$ 를 $r$ 과 $l$ 로 나타내세요. (Unit 10 부채꼴 호 공식 활용)
부채꼴 호 = $\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi l$. 이게 밑면 둘레 $2\pi r$ 와 같음.
$\theta = \dfrac{r}{l} \times 360°$
부채꼴(반지름 $l$, 중심각 $\theta$)의 호 길이 = $\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi l$.
이게 밑면 둘레 $2\pi r$ 와 같아야 함:
$\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi l = 2\pi r$
$\dfrac{\theta}{360} = \dfrac{r}{l}$
$\theta = \dfrac{r}{l} \times 360°$
💡 예: $r=3, l=9$ → $\theta = \dfrac{3}{9} \times 360° = 120°$.
옆면 직사각형의 가로가 $10\pi$ cm, 세로가 $7$ cm 인 원기둥의 밑면 반지름과 높이를 구하세요.
가로 = $2\pi r$, 세로 = 높이 $h$.
반지름 $5$ cm, 높이 $7$ cm
가로 = $2\pi r = 10\pi$ → $r = 5$ cm.
세로 = $h = 7$ cm.
(역산 — 옆면 정보로 원기둥 크기 복원.)
원뿔의 옆면 부채꼴의 호의 길이가 $8\pi$ cm, 반지름이 $12$ cm 일 때, 원뿔의 밑면 반지름과 모선을 구하세요.
부채꼴 반지름 = 모선. 호 = 밑면 둘레.
밑면 반지름 $4$ cm, 모선 $12$ cm
부채꼴 반지름 = 원뿔 모선 = $12$ cm.
부채꼴 호 = 밑면 둘레: $8\pi = 2\pi r$ → $r = 4$ cm.
💡 검산: 부채꼴 중심각 = $\dfrac{4}{12} \times 360° = 120°$ ✓