① 원 회전체의 정의에 의해, 회전축에 수직인 단면은 항상 원이에요. 원기둥은 어디서 잘라도 합동인 원 단면.
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원뿔의 축단면(회전축을 포함하는 단면)의 모양은? ① 원 ② 이등변삼각형 ③ 직사각형 ④ 사다리꼴
원뿔의 가운데를 위·아래로 자르면 어떤 모양이 보이나요?
② 이등변삼각형 축단면 = 회전축을 포함하는 단면. 원뿔의 회전축을 지나도록 위·아래로 자르면 이등변삼각형이 보여요. (원래 회전 전 직각삼각형 + 거울상.)
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구의 어떤 단면이라도 항상 어떤 모양인가요? ① 원 ② 타원 ③ 사각형 ④ 단면이 없음
구는 어떻게 잘라도 같은 모양 단면이 나와요.
① 원 구는 매우 특별해요 — 어떻게 잘라도 단면은 항상 원이에요. 회전축에 수직이든, 비스듬이든, 축단면이든. (축단면은 가장 큰 원 = 지름이 단면의 지름이 됨.)
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M
★ 원뿔을 회전축에 수직으로 자르면 어떤 모양인가요? ① 원 ② 이등변삼각형 ③ 직각삼각형 ④ 사다리꼴
⚠️ 이등변삼각형은 축단면이지 수직 단면이 아니에요!
① 원 ★ 단원 핵심 함정. 수직 단면 = 항상 원. 이등변삼각형(②)은 축단면(회전축 포함). 💡 외우는 법: 수직 = 원, 축단면 = 좌우대칭.
⚠️ ② 이등변삼각형은 시험에서 가장 많이 틀리는 답. 원뿔 모양을 보고 삼각형이라 답하면 함정.
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M
★ 원기둥의 축단면(회전축을 포함하는 단면)의 모양은? ① 원 ② 직사각형 ③ 정사각형 ④ 사다리꼴
원기둥을 가운데를 길이 방향으로 자르면 어떤 모양이 보이나요?
② 직사각형 원기둥의 축단면 = 가로 = 지름($2r$), 세로 = 높이($h$) 인 직사각형. (원래 회전 전 직사각형 + 거울상.) ★ 정사각형은 $2r = h$ 일 때만 — 일반적으로 직사각형이 정답.
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M
원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면(축단면)은 어떤 모양인가요? 또한 같은 원뿔대의 어느 축단면이든 모두 합동일까요?
원뿔대 = 사다리꼴 회전 결과. 모든 축단면은 같은 모양 (회전 대칭).
(등변)사다리꼴, 모든 축단면은 합동 원뿔대의 축단면 = 회전 전 사다리꼴 + 거울상 = 등변사다리꼴. ★ 회전축을 포함하는 단면은 어느 방향에서 잘라도 모두 같은 모양 (모든 축단면은 합동) — 회전체의 일반 성질.
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H
어떤 회전체를 회전축에 수직으로 자른 단면이 항상 같은 크기의 원이 나왔어요. 이 회전체는 무엇일 가능성이 가장 높은가요? ① 원기둥 ② 원뿔 ③ 원뿔대 ④ 구
크기가 항상 같다는 게 핵심. 어디를 잘라도 같은 크기?
① 원기둥 원기둥은 위아래 어디를 수직으로 잘라도 같은 크기의 원. 원뿔은 위로 갈수록 작아짐, 원뿔대도 위로 갈수록 작아짐, 구는 적도가 가장 크고 극으로 갈수록 작아짐.
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H
반지름이 $5$, 높이가 $8$ 인 원기둥의 축단면의 둘레는?
축단면 = 직사각형. 가로 = $2r$, 세로 = $h$. 둘레 = ?
$36$ 원기둥 축단면 = 가로 $2r = 10$, 세로 $h = 8$ 인 직사각형. 둘레 = $2(10 + 8) = 2 \times 18 = 36$. ⚠️ 가로를 반지름 5로 잘못 두지 말기 — 축단면은 회전축을 가로지르므로 반지름이 양쪽으로 펼쳐져 지름($2r$)이 됨.
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반지름이 $6$ 인 구를 중심에서 $4$ 만큼 떨어진 곳에서 회전축에 수직으로 자른 단면의 반지름은? (피타고라스 정리)
중심 O, 단면 중심 M, 단면 위 한 점 P. 직각삼각형 OMP에서 OP = 6 (반지름), OM = 4. MP = ?
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ 구의 중심 O에서 단면 중심 M까지 거리 = 4. 단면 위 임의의 점 P (반지름 위)까지의 거리 OP = 구의 반지름 = 6. 직각삼각형 OMP: $\overline{OM}^2 + \overline{MP}^2 = \overline{OP}^2$ $16 + \overline{MP}^2 = 36$ $\overline{MP}^2 = 20$, $\overline{MP} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. 💡 단면이 중심을 지날 때(거리 0) → 단면 반지름 = 6 (구의 반지름과 같음, 가장 큰 원).