유형 2 — 각기둥·각뿔·각뿔대

사각기둥의 면, 모서리, 꼭짓점 수를 차례로 쓰세요.
① $4, 8, 8$ ② $6, 12, 8$ ③ $5, 8, 5$ ④ $6, 8, 8$

$n$각기둥: $F=n+2, E=3n, V=2n$. $n=4$일 때.

② 면 6, 모서리 12, 꼭짓점 8
$n=4$ 대입: $F = 4+2 = 6$, $E = 3 \times 4 = 12$, $V = 2 \times 4 = 8$.

육각뿔의 면 수는?
① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8

$n$각뿔 면 = $n+1$.

③ 7
육각뿔 = $n=6$. 면 수 $= n+1 = 7$. (밑면 1 + 옆면 6.)

오각뿔대의 모서리 수는?
① 5 ② 10 ③ 15 ④ 20

$n$각뿔대 모서리 = $3n$ (각기둥과 같음).

③ 15
$n=5$ → $3n = 15$. (위 5 + 아래 5 + 옆 5)
각기둥과 각뿔대는 $V, E, F$ 모두 같아요. 차이는 옆면 모양 (직사각형 vs 사다리꼴).

어떤 각뿔의 면의 수가 $10$ 일 때, 모서리의 수는?
① $9$ ② $14$ ③ $18$ ④ $20$

$F = n+1 = 10$ → $n=?$. 그 다음 $E = 2n$.

③ 18
각뿔이므로 $F = n+1 = 10$ → $n=9$ (구각뿔).
$E = 2n = 2 \times 9 = 18$.
⚠️ $n=10$으로 잘못 두면 $20$ — 함정!

다음 중 옆면이 사다리꼴인 입체는?
① 삼각기둥 ② 삼각뿔 ③ 사각뿔대 ④ 사각뿔

각기둥 = 직사각형, 각뿔 = 삼각형, 각뿔대 = ?

③ 사각뿔대
각뿔대는 각뿔 윗부분을 잘라낸 입체. 옆면이 모두 사다리꼴.
각기둥 옆면 = 직사각형, 각뿔 옆면 = 삼각형.

$n$각기둥과 $n$각뿔대의 비교 중 옳은 것은?
① 두 입체의 면 수가 다르다.
② 두 입체의 모서리 수가 다르다.
③ 두 입체의 꼭짓점 수가 다르다.
④ 모든 수가 같다.

표를 떠올려봐요. 각기둥과 각뿔대의 $V, E, F$.

④ 모든 수가 같다
$n$각기둥과 $n$각뿔대 모두 $V = 2n, E = 3n, F = n+2$.
차이점은 옆면 모양 (직사각형 vs 사다리꼴) 그리고 두 밑면의 관계 (합동 vs 닮음).

어떤 각기둥의 모든 모서리의 수와 꼭짓점의 수를 합한 값이 $25$ 일 때, 면의 수는?

$E + V = 3n + 2n = 5n$. $5n = 25$ → $n = ?$

$F = 7$ (오각기둥)
$E + V = 3n + 2n = 5n = 25$ → $n = 5$.
$F = n + 2 = 7$.
검산 (오일러): $V = 10, E = 15, F = 7$ → $10-15+7 = 2$ ✓

육각기둥과 칠각뿔의 모서리의 수의 차는?

육각기둥 $E = 3 \times 6$, 칠각뿔 $E = 2 \times 7$.

$4$
육각기둥: $E = 3n = 3 \times 6 = 18$.
칠각뿔: $E = 2n = 2 \times 7 = 14$.
차 = $18 - 14 = 4$.

$n$각뿔과 $n$각기둥의 면 수의 차는 항상 얼마인가요? ($n \geq 3$)

$n$각뿔 $F = n+1$, $n$각기둥 $F = n+2$.

$1$
$n$각기둥의 면 수 $= n+2$.
$n$각뿔의 면 수 $= n+1$.
차 $= (n+2) - (n+1) = 1$. ($n$에 무관하게 항상 1.)
💡 직관: 각뿔은 위 꼭짓점이 한 점으로 모임 → 윗 밑면이 없으므로 면이 1 적음.