1. 다면체란?
다면체(polyhedron) = 다각형 면들로만 둘러싸인 입체도형.
💚 다면체의 어원: 다(多, poly-) + 면(-hedron) — "여러 면을 가진 것" (그리스어).
⚠️ 모든 면이 평면 다각형이어야 함. 곡면이 하나라도 있으면 다면체 아님 (원기둥은 다면체 ❌).
구성요소
| 요소 | 정의 | 표기 |
|---|
| 면 (face) | 평평한 다각형 부분 | $F$ |
| 모서리 (edge) | 두 면이 만나는 선분 | $E$ |
| 꼭짓점 (vertex) | 모서리들이 만나는 점 | $V$ |
🔍 정육면체에서: $V = 8, E = 12, F = 6$.
$V - E + F = 8 - 12 + 6 = \mathbf{2}$.
이 식이 오일러 공식! Page 4에서 다시 만나요.
2. 각기둥 · 각뿔 · 각뿔대
밑면이 $n$각형일 때, 세 종류 다면체의 $V, E, F$는?
| 각기둥 | 각뿔 | 각뿔대 |
|---|
| 밑면 | 2개 (합동, 평행) | 1개 | 2개 (닮음) |
| 옆면 모양 | 직사각형 | 삼각형 | 사다리꼴 |
| $V$ | 6 = $2n$ | 4 = $n+1$ | 6 = $2n$ |
| $E$ | 9 = $3n$ | 6 = $2n$ | 9 = $3n$ |
| $F$ | 5 = $n+2$ | 4 = $n+1$ | 5 = $n+2$ |
🔍 각기둥과 각뿔대는 $V, E, F$가 같다! 차이는 옆면 모양 (직사각형 vs 사다리꼴).
다 외울 필요 없어요. $n$각기둥의 모서리 = $3n$ 만 외우면 나머지는 비교로 풀 수 있어요.
⚠️ 자주 하는 실수: $n$각기둥 모서리 = $2n$ 으로 적기 (오답). 정답은 $3n$ — 위 $n$ + 아래 $n$ + 옆 $n$.
3. 정다면체 5종
정다면체의 두 조건 (둘 다 ✓ 만족해야 함):
- 모든 면이 합동인 정다각형
- 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 모두 같음
| 이름 | 면 모양 | $F$ | $V$ | $E$ | 꼭짓점에 모인 면 수 |
|---|
| 정사면체 | 정삼각형 | 4 | 4 | 6 | 3 |
| 정육면체 | 정사각형 | 6 | 8 | 12 | 3 |
| 정팔면체 | 정삼각형 | 8 | 6 | 12 | 4 |
| 정십이면체 | 정오각형 | 12 | 20 | 30 | 3 |
| 정이십면체 | 정삼각형 | 20 | 12 | 30 | 5 |
⚠️ 주의: 정사각뿔(밑면 정사각형 + 옆면 정삼각형)은 정다면체 ❌ — 옆면과 밑면이 합동 아님.
정삼각기둥도 정다면체 ❌ — 같은 이유.
4. 왜 정다면체는 5종뿐일까?
한 꼭짓점에 모이는 정다각형들의 내각의 합 < 360° 이어야 입체가 닫혀요.
- 360° 면 합 → 평면 (입체 안 됨)
- 360° 초과 → 닫히지 않음
| 면 모양 | 한 내각 | 꼭짓점에 모인 수 | 각 합 | 입체? |
|---|
| 정삼각형 | 60° | 3 | 180° | ✅ 정사면체 |
| 정삼각형 | 60° | 4 | 240° | ✅ 정팔면체 |
| 정삼각형 | 60° | 5 | 300° | ✅ 정이십면체 |
| 정삼각형 | 60° | 6 | 360° | ❌ 평면 |
| 정사각형 | 90° | 3 | 270° | ✅ 정육면체 |
| 정사각형 | 90° | 4 | 360° | ❌ 평면 |
| 정오각형 | 108° | 3 | 324° | ✅ 정십이면체 |
| 정오각형 | 108° | 4 | 432° | ❌ 360° 초과 |
| 정육각형 | 120° | 3 | 360° | ❌ 평면 |
🌟 그래서 정확히 3+1+1 = 5종!
• 정삼각형으로 만든 정다면체 3종 (사·팔·이십)
• 정사각형으로 만든 정다면체 1종 (육)
• 정오각형으로 만든 정다면체 1종 (십이)
• 정육각형 이상은 평면이 되어버림 — 안 됨.
오일러 공식 $V - E + F = 2$
모든 (구멍 없는) 다면체에서 성립.
| 정다면체 | $V$ | $E$ | $F$ | $V-E+F$ |
|---|
| 정사면체 | 4 | 6 | 4 | $4-6+4=2$ ✓ |
| 정육면체 | 8 | 12 | 6 | $8-12+6=2$ ✓ |
| 정팔면체 | 6 | 12 | 8 | $6-12+8=2$ ✓ |
| 정십이면체 | 20 | 30 | 12 | $20-30+12=2$ ✓ |
| 정이십면체 | 12 | 30 | 20 | $12-30+20=2$ ✓ |
5. 회전체 4종
회전체 = 평면도형을 한 직선(회전축) 둘레로 1회전 시킬 때 생기는 입체.
💚 회전축: 회전의 중심이 되는 직선. 평면도형의 변일 수도, 외부 직선일 수도.
⚠️ 각기둥은 회전체가 아니다 — 각기둥은 다면체. 곡면 없음.
| 회전 전 도형 | 회전축 | 회전체 |
|---|
| 직사각형 | 한 변 | 원기둥 |
| 직각삼각형 | 직각낀 한 변 | 원뿔 |
| 사다리꼴 | 평행하지 않은 한 변 | 원뿔대 |
| 반원 | 지름 | 구 |
모선 vs 높이 (★)
원뿔에서:
- 높이: 꼭짓점 → 밑면 (수직 거리)
- 모선 $l$: 꼭짓점 → 밑면 둘레 (옆면 위)
- $l^2 = h^2 + r^2$ (피타고라스)
6. 회전체의 단면 (★ 핵심)
같은 회전체라도 어떻게 자르냐에 따라 단면이 다르다!
① 회전축에 수직인 단면 — 항상 원
② 회전축을 포함하는 단면 (= 축단면) — 좌우대칭 도형
| 회전체 | 수직 단면 | 축단면 |
|---|
| 원기둥 | 원 | 직사각형 |
| 원뿔 | 원 | 이등변삼각형 |
| 원뿔대 | 원 | (등변)사다리꼴 |
| 구 | 원 | 원 (지름이 단면의 지름) |
⚠️ 자주 하는 실수:
❌ "원뿔의 수직 단면 = 이등변삼각형" — 이등변삼각형은 축단면, 수직은 원.
❌ "원기둥의 축단면 = 원" — 축단면은 직사각형, 수직이 원.
💡 외우는 법: 수직 = 원, 축단면 = 좌우대칭 도형.
7. 회전체 전개도
전개도: 입체 표면을 평면에 펼친 그림.
원기둥의 전개도
원뿔의 전개도
💡 구는 전개도가 없음 — 평면에 완전히 펼칠 수 없어요. 그래서 지구본을 평면 지도로 만들면 왜곡이 생긴답니다 (메르카토르 도법).
직접 풀어보세요 ✏️
밑면 반지름이 $3$인 원기둥의 옆면을 펼치면 직사각형이 돼요. 직사각형의 가로의 길이는?
✅ 정답: $\boxed{6\pi}$
풀이: 밑면 둘레 = $2\pi r = 2\pi(3) = 6\pi$. 이게 옆면 직사각형의 가로!
밑면 반지름이 $4$, 모선이 $10$인 원뿔의 옆면(부채꼴) 호의 길이는?
✅ 정답: $\boxed{8\pi}$
풀이: 부채꼴 호의 길이 = 밑면 둘레 = $2\pi r = 2\pi(4) = 8\pi$.