문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ ($l$은 호의 길이) · $\pi$ ≈ 3.14…
유형 3 · H3
반지름 $r$인 원에서 중심각 $\theta°$인 부채꼴에서 활꼴 넓이를 일반식으로 표현하세요.
(부채꼴 넓이 $-$ 삼각형 넓이의 형태로)
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
부채꼴 넓이 공식과 두 반지름이 만드는 삼각형 넓이를 각각 써보세요.
1단계 · Page 1
부채꼴 넓이 일반식
왜 이 단계? — 활꼴 = 부채꼴 $-$ 삼각형. 부채꼴 넓이 공식은 이미 알아요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
부채꼴 넓이
$S_{부채꼴} = \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360}$
두 반지름이 만드는 삼각형 넓이
두 변 $r$, $r$, 끼인각 $\theta$인 삼각형의 넓이는 공식으로:
$S_{삼각형} = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin\theta = \dfrac{r^2 \sin\theta}{2}$
($\sin\theta$는 중2 이상 내용이지만, 일반식 형태로 표현할 때 사용해요)
2단계 · Page 2
활꼴 넓이 = 부채꼴 $-$ 삼각형
왜 이 단계? — 두 식을 합쳐서 최종 일반식을 만들어요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
일반식 완성
활꼴 = $\pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360} - \dfrac{r^2 \sin\theta}{2}$
💡 중1 시험에서의 활용
중1에서는 $\sin\theta$를 직접 구하지 않아요. 대신 특수각만 나와요:
$\theta = 60°$: $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ → 삼각형 넓이 = $\dfrac{r^2 \sqrt{3}}{4}$ (정삼각형)
$\theta = 90°$: $\sin 90° = 1$ → 삼각형 넓이 = $\dfrac{r^2}{2}$ (직각이등변삼각형)
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
활꼴 넓이 $= \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360} - \dfrac{r^2 \sin\theta}{2}$
전체 풀이 흐름
2
부채꼴 넓이 = $\pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360}$
3
삼각형 OAB 넓이 = $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$ (두 변 $r$, 끼인각 $\theta$)
4
활꼴 = $\pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360} - \frac{r^2 \sin\theta}{2}$
⚠️ 중1 시험 범위
$\sin\theta$는 중2 이상 내용이에요. 중1 시험에서는 $\theta = 60°, 90°$ 같은 특수각만 나와요. 이때는 직접 삼각형 넓이를 기하적으로 구해요 (H2처럼).