문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ ($l$은 호의 길이) · $\pi$ ≈ 3.14…
유형 3 · H2
중심각이 $60°$, 반지름이 $6$ cm인 부채꼴이 있어요. 이 부채꼴의 호와 현으로 만든 활꼴의 넓이는?
(정삼각형 넓이 공식: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 활용)
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
활꼴 = 부채꼴 $-$ 삼각형. 두 반지름의 길이가 같고 끼인각이 $60°$이면 삼각형은 어떤 삼각형일까요?
1단계 · Page 1
60° 이등변삼각형 → 정삼각형!
왜 이 단계? — 두 반지름이 만드는 삼각형이 특수한 경우라는 것을 인식하는 게 핵심이에요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
핵심 관찰
삼각형 OAB (O: 중심, A, B: 원 위 두 점)에서:
$\overline{OA} = \overline{OB} = r = 6$ cm (두 반지름 같음)
$\angle AOB = 60°$ (중심각)
이등변삼각형에서 꼭짓각이 $60°$ → 두 밑각도 $60°$
→ 세 각이 모두 $60°$ → 정삼각형!
정삼각형이면 세 변 모두 같아요: $\overline{AB} = 6$ cm.
⚠️ 호·현 비례 함정
"60° 부채꼴이니까 현 = 반지름 × (60/180) 같은 건 아닐까?" — 아니에요! 현은 중심각에 비례하지 않아요. 이번처럼 기하적으로 직접 계산해야 해요.
2단계 · Page 2
부채꼴 넓이와 삼각형 넓이 각각 계산
왜 이 단계? — 활꼴 = 부채꼴 $-$ 삼각형. 두 넓이를 따로 구해요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
부채꼴 넓이
$S_{부채꼴} = \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360} = \pi(6)^2 \cdot \dfrac{60}{360}$
$= 36\pi \cdot \dfrac{1}{6} = 6\pi$ cm²
정삼각형 넓이 (한 변 $a = 6$)
$S_{삼각형} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ cm²
3단계 · Page 3
활꼴 넓이 = 부채꼴 $-$ 삼각형
왜 이 단계? — 두 값을 빼서 최종 답을 구해요.
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
최종 계산
활꼴 = 부채꼴 $-$ 삼각형
$= 6\pi - 9\sqrt{3}$ cm²
💡 답의 형태
$6\pi - 9\sqrt{3}$는 두 개의 다른 무리수($\pi$와 $\sqrt{3}$)로 이루어진 식이에요. 더 이상 간단히 할 수 없어요. 이 형태 그대로가 정답.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
원의 둘레(원주): $2\pi r$ · 원의 넓이: $\pi r^2$ · 부채꼴 호의 길이: $2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ · 부채꼴 넓이: $\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{1}{2}rl$ · $\pi$ ≈ 3.14…
$(6\pi - 9\sqrt{3})$ cm²
전체 풀이 흐름
2
$r = 6$, $\theta = 60°$, 이등변삼각형에서 꼭짓각 $60°$ → 정삼각형 (한 변 = 6)
3
부채꼴 넓이 = $\pi(6)^2 \cdot \frac{1}{6} = 6\pi$ cm²
4
정삼각형 넓이 = $\frac{\sqrt{3}}{4}(6)^2 = 9\sqrt{3}$ cm²
5
활꼴 = $6\pi - 9\sqrt{3}$ cm²
⚠️ 이 유형의 핵심 아이디어
60° 이등변삼각형 = 정삼각형. 이 인식이 없으면 삼각형 넓이 계산이 막막해져요.
특수각 중심각 (30°, 60°, 90°, 120°) → 특수한 삼각형 → 공식 적용.