1. 원과 그 친구들
원은 — 한 점(중심)으로부터 같은 거리에 있는 모든 점 의 모임이에요. 그 거리를 반지름 이라고 해요.
호 vs 현 — 헷갈리지 마세요
⚠️ 같은 두 점 A, B에 대해서 — 호는 곡선 (휘어진 부분), 현은 선분 (곧은 부분)이에요.
두 가지 직선의 만남
이름 원과 만나는 점 할선 (secant)2개 접선 (tangent)1개 (← 접점)
💡 지름은 가장 긴 현이에요. 어떤 현도 지름보다 길 수 없어요. (왜냐하면 현은 원 안에 갇혀있고, 가장 멀리 가려면 중심을 지나야 하거든요.)
2. 원의 둘레와 넓이 — π를 만나요
원의 둘레 를 지름 으로 나누면 — 원의 크기와 상관없이 항상 같은 비율 이 나와요. 이 비율을 π (파이) 라고 불러요.
🌟 새로운 기호 — π (그리스 문자 '파이')
r = 5
O
둘레 $C = 2\pi r =$ 10π (≈ 31.42 )
넓이 $A = \pi r^2 =$ 25π (≈ 78.54 )
💡 슬라이더로 반지름을 움직여보세요. 둘레는 $r$의 1차, 넓이는 $r$의 2차 — 반지름이 2배가 되면 둘레는 2배지만 넓이는 4배 가 돼요.
3. 부채꼴 vs 활꼴 — 그 차이는?
원에서 만들어지는 두 가지 도형. 부채꼴 과 활꼴 은 비슷해 보이지만 다른 도형이에요.
구분 부채꼴 활꼴 경계 두 반지름 + 호 한 현 + 호 중심 포함? 중심 O 포함 중심 안 포함 (보통) 모양 피자 한 조각 🍕 달·잎사귀 🌙
💡 특수 케이스 : 중심각이 정확히 $180°$일 때 — 부채꼴 = 활꼴 = 반원 . 이 한 경우만 두 도형이 일치해요. 지름이 곧 현이 되거든요.
⚠️ 시험에서는 그림만 보고 "부채꼴이다"라고 단정하지 말고, 경계가 두 반지름 인지 한 현 인지 확인하세요!
4. 호의 길이 — 비례로 풀어요
부채꼴은 원 전체에서 $\dfrac{\theta}{360}$ 만큼만 차지해요. 그러니까 호의 길이도 원 전체 둘레의 그만큼만 가져가요.
🌟 그리스 문자 θ (세타) — 중심각 을 나타내는 변수예요. (Unit 07에서 본 ∠ 와 함께 그리스 문자 사용 — 영어 알파벳과 구분하기 위함)
$$l = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$
호의 길이 $l = 2\pi \cdot$ 6 $\cdot \dfrac{\text{120 }}{360} =$ 4π
💡 θ를 슬라이더로 움직여보세요. θ가 2배가 되면 호도 정확히 2배 예요. 이게 "호와 중심각은 정비례"의 의미.
5. 부채꼴의 넓이 — 두 가지 공식
같은 비례 발상으로 — 부채꼴 넓이는 원 전체 넓이의 $\dfrac{\theta}{360}$ 배예요.
$$S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$$
그런데 이 식을 약간 다르게 쓸 수 있어요. 호의 길이 $l$을 알 때 이렇게:
$$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$$
왜 두 식이 같을까?
$S = \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360} = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot \left(2\pi r \cdot \dfrac{\theta}{360}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot l$
밑변 = $l$ (호), 높이 = $r$ (반지름) 인 삼각형 넓이 같죠? 부채꼴을 잘게 쪼개면 정말 삼각형이 돼요. 이게 아르키메데스의 원의 넓이 증명 발상이에요. 2200년 전!
공식 1 — $S = \pi \cdot$ 6 $^2 \cdot \dfrac{\text{120 }}{360} =$ 12π
공식 2 — $S = \dfrac{1}{2} \cdot$ 6 $\cdot$ 4π $=$ 12π
💡 두 공식이 항상 같은 답을 내요. 시험에서는 호의 길이가 주어지면 $\dfrac{1}{2}rl$ 이 빠르고, 중심각이 주어지면 $\pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360}$ 가 자연스러워요.
⚠️ 부채꼴의 둘레 는? — 호의 길이만이 아니에요! 호 + 반지름 두 개 예요.
6. 호 vs 현 — 정비례할까?
같은 원에서 중심각 θ가 변할 때 — 호의 길이는 정비례 해요. 그런데 현의 길이는 정비례하지 않아요 . 이게 시험에서 가장 자주 함정으로 나와요.
호의 길이 (초록) ≈ 125.66 ($r=120$ 단위 기준)
현의 길이 (빨강) ≈ 120
θ = 60 ° 일 때 위 두 값을 비교해보세요
실제로 비교해볼까요? ($r = 1$일 때)
중심각 θ 호의 길이 현의 길이 60° $\dfrac{\pi}{3} \approx 1.047$ $1$ 120° (60° × 2) $\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094$ (정확히 2배 ✓) $\sqrt{3} \approx 1.732$ (2배 아님 ✗) 180° (60° × 3) $\pi \approx 3.142$ (정확히 3배 ✓) $2$ (3배 아님 ✗)
⚠️ "현의 길이가 중심각에 정비례한다" 는 객관식 보기는 — 거짓 이에요!
같은 원에서 비례식
$$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{S_1}{S_2}$$
15cm .
7. 직접 계산해보세요
아르키메데스의 정신으로 — 직접 손으로 풀어봐요. 답은 그 다음 페이지(또는 머릿속)에 있어요.
연습 1
$r = 10$ cm, $\theta = 36°$ 인 부채꼴.
호의 길이 $l = $
넓이 $S = $
둘레 =
연습 2
같은 원에서, 중심각 $40°$의 호가 $4\pi$ cm 라면:
중심각 $120°$의 호의 길이 =
이 원의 반지름 $r = $
연습 3 — 색칠한 부분
한 변의 길이가 $4$인 정사각형 안에, 한 꼭짓점을 중심으로 하는 사분원이 있어요. 정사각형 넓이에서 사분원 넓이를 빼면?
색칠한 부분 넓이 = $4^2 - \pi \cdot 4^2 \cdot \dfrac{1}{4} =$
✏️ 나의 풀이
💡 정답을 보지 않고 풀어보세요. 모르겠으면 다시 페이지를 넘겨봐도 좋아요. 아르키메데스도 며칠씩 욕조에 앉아 고민했답니다.
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