유형 6 — 정다각형 한 내각·한 외각

정육각형의 한 외각의 크기를 구하시오.

$\dfrac{360°}{n}$, $n=6$.

$60°$
$\dfrac{360°}{6} = 60°$

정팔각형의 한 내각의 크기를 구하시오.

한 외각부터 구해서 $180°$에서 빼기.

$135°$
한 외각 = $\dfrac{360°}{8} = 45°$.
한 내각 = $180° - 45° = 135°$.

정삼각형의 한 외각과 한 내각을 각각 구하시오.

$n=3$ 대입.

외각 $120°$, 내각 $60°$
외각 = $\dfrac{360°}{3} = 120°$, 내각 = $180° - 120° = 60°$.

한 외각의 크기가 $30°$인 정다각형은 정몇각형인가?

$\dfrac{360°}{n} = 30°$.

정십이각형 ($n = 12$)
$\dfrac{360°}{n} = 30°$ → $n = 12$.

한 내각의 크기가 $144°$인 정다각형은 정몇각형인가?

한 외각 = $180° - 144°$. 그 후 $360°/n$.

정십각형 ($n = 10$)
한 외각 = $180° - 144° = 36°$.
$\dfrac{360°}{n} = 36°$ → $n = 10$.

한 내각의 크기가 $108°$인 정다각형의 대각선의 수를 구하시오.

한 외각 → $n$ 구하고, 대각선 $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

5개
한 외각 = $180° - 108° = 72°$.
$\dfrac{360°}{n} = 72°$ → $n = 5$ (정오각형).
대각선 = $\dfrac{5 \times 2}{2} = 5$.

정다각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 $7 : 2$일 때, 이 정다각형은 정몇각형인가?

내각 + 외각 = 180°. 비를 이용해 외각 구하기.

정구각형 ($n = 9$)
내각 : 외각 = 7 : 2 → 합 = 9 → 외각 = $180° \times \dfrac{2}{9} = 40°$.
$\dfrac{360°}{n} = 40°$ → $n = 9$.

정다각형의 한 내각의 크기가 한 외각의 크기의 5배일 때, 이 정다각형의 변의 수를 구하시오.

내각 = 5 × 외각. 내각 + 외각 = 180°.

12개 (정십이각형)
내각 + 외각 = 180°이고 내각 = 5×외각.
5×외각 + 외각 = 6×외각 = 180° → 외각 = 30°.
$\dfrac{360°}{n} = 30°$ → $n = 12$.

한 변의 길이가 같은 정사각형과 정삼각형이 한 변을 공유하며 바깥쪽으로 붙어 있다. 두 도형이 합쳐서 이루는 새 다각형의 변의 수와 그 다각형의 내각의 합을 구하시오.

정사각형 한 내각 90°, 정삼각형 한 내각 60°. 공유 변 양 끝에서 두 내각의 합이 180°(평각)이 되는지 확인.

변 5개 (오각형), 내각합 $540°$
정사각형 변 4 + 정삼각형 변 3 = 7. 공유 변 양쪽 1개씩 사라짐 → 외곽 변 7 - 2 = 5개.
공유 변 양 끝점에서: 정사각형 내각 $90°$ + 정삼각형 내각 $60°$ = $150°$ ($< 180°$이므로 평각이 안 되고 꼭짓점 그대로 유지).
총 꼭짓점: 정사각형 4개 + 정삼각형 3개 - 공유점 2개 (각각 한 번씩 중복) = 5개.
$\therefore$ 오각형. 내각합 = $180° \times 3 = 540°$.
(검산: 외곽 내각들 합 = (정사각형 안 공유 두 각: $90°+90°$) + (정삼각형 안 공유 한 각: $60°$) + (공유점 두 각 합: $150°+150°$) = $180° + 60° + 300° = 540°$ ✓)