다음 중 다각형이 아닌 것은?
① 삼각형 ② 사각형 ③ 원 ④ 오각형 ⑤ 육각형
다각형은 선분으로만 이루어져요. 곡선이 들어가면?
③ 원
다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형. 원은 곡선이라 다각형이 아니에요.
구각형의 변의 수는?
$n$각형의 변은 $n$개. "구"각형은 $n=$?
9개
구각형 → $n = 9$. 변의 수 = 꼭짓점의 수 = $n = 9$.
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수가 5개인 다각형은 몇각형인가?
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수 = $n - 3$.
팔각형
$n - 3 = 5$ → $n = 8$.
다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르시오.
(가) 다각형은 선분으로만 이루어져 있다
(나) 다각형은 평면도형이어야 한다
(다) 변과 꼭짓점의 수는 다를 수 있다
(라) 부채꼴은 다각형이다
다각형 조건 3가지: ① 평면 ② 선분 ③ 닫힘. $n$각형은 변·꼭짓점이 모두 $n$개.
(가), (나)
(가) 선분만 ✓ (다각형의 정의)
(나) 평면도형이어야 ✓
(다) 변과 꼭짓점은 항상 같음 ($n$각형은 둘 다 $n$개) X
(라) 부채꼴은 곡선(호)이 들어가서 다각형 X
변의 수가 11개인 다각형의 꼭짓점의 수와 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수를 각각 구하시오.
$n$각형: 변 $n$, 꼭짓점 $n$, 한 꼭짓점 대각선 $n-3$.
꼭짓점 11개, 한 꼭짓점 대각선 8개
변 11 → $n = 11$. 꼭짓점 = 11. 한 꼭짓점에서 그을 대각선 = $11 - 3 = 8$.
"변의 수가 꼭짓점의 수보다 1 적은 다각형이 있다"는 학생의 주장이 옳은지 판단하고 이유를 설명하시오.
다각형은 닫혀 있어요. 닫힌 도형에서 변과 꼭짓점은?
옳지 않다
다각형은 닫힌 도형이라, 변과 꼭짓점이 일대일 짝을 이뤄요. 모든 다각형에서 변의 수 = 꼭짓점의 수. 따라서 1만큼 차이 나는 다각형은 존재하지 않아요.
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수가 9개인 다각형의 변의 수를 구하시오.
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수 = $n - 3$. $n - 3 = 9$.
12개 (십이각형)
$n - 3 = 9$ → $n = 12$. 변의 수 = $n = 12$.
어떤 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선이 그 다각형의 변의 수의 절반보다 1 작다. 이 다각형은 몇각형인가?
한 꼭짓점 대각선 = $n-3$. 변의 절반 = $n/2$. 식: $n - 3 = \dfrac{n}{2} - 1$.
4각형 (사각형)
$n - 3 = \dfrac{n}{2} - 1$
양변에 2를 곱: $2n - 6 = n - 2$
$n = 4$.
(검산: $n=4$일 때 한 꼭짓점에서 대각선 $=1$, 변 절반 $=2$, $2-1=1$ ✓)
한 다각형의 꼭짓점이 $n$개일 때, 한 꼭짓점에서 모든 다른 꼭짓점에 직선을 그으면 몇 개의 직선이 그어지며, 그 중 변과 대각선의 개수는 각각 얼마인가?
자기 자신 제외하면 $n-1$개. 그 중 이웃하는 두 꼭짓점 = 변 2개. 나머지 = 대각선.
전체 $n-1$개, 변 2개, 대각선 $n-3$개
한 꼭짓점에서 자기 제외 다른 꼭짓점은 $n-1$개.
이 중 이웃한 두 꼭짓점으로 가는 선은 변 ($n-1-2 = n-3$ 개가 대각선).
$\therefore$ 변 2개 + 대각선 $n-3$개 = 전체 $n-1$개.