깊이 탐구 — 내각·외각 (삼각형부터 n각형까지)

이 유형이 어려운 이유

삼각형 내각의 합 $180°$는 누구나 외우지만, 외각의 정리(외각 = 이웃 안 하는 두 내각의 합)는 막상 문제에서 활용하기 어려워요. 보조각·이등분선 같은 변형이 많기 때문.

핵심 아이디어 — 두 가지 도구

① 내각의 합 = $180°$

② 한 외각 = 이웃 안 하는 두 내각의 합

왜 둘이 같은 사실인가?
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ ① $\quad$ $\angle C + \angle\text{외}_C = 180°$ ② (평각)
두 식 비교 → $\angle\text{외}_C = \angle A + \angle B$

도구 활용법

두 각이 주어지면 → 셋째 각 = $180°$ - 두 각의 합
한 외각이 주어지면 → (1) 그 꼭짓점 내각 = $180°$ - 외각, (2) 다른 두 내각의 합 = 외각
비례식 ($\angle A : \angle B : \angle C$) → $kx + lx + mx = 180°$로 $x$ 구하기
이등변삼각형: 두 밑각이 같음 — 이 사실을 추가 정보로 활용

자주 하는 실수

❌

"외각의 정리"에 모든 외각이 다 포함된다고 착각

한 꼭짓점에서 본 외각은 1개. (양쪽으로 그릴 수는 있지만 맞꼭지각이라 같음.) 삼각형 전체 외각의 합은 $360°$.

❌

"이웃하지 않는 두 내각" = 그냥 다른 두 내각

맞아요 — 삼각형이라 그게 그거. 하지만 "이웃하지 않는"이라는 표현이 정확.

❌

이등변 삼각형 두 밑각 합 = $180°$로 착각

두 밑각의 합은 $180° - $ 꼭지각이에요. 두 밑각만 더해 180°가 되면 꼭지각이 0이 돼야 해서 불가능.

추가 문제

PROB 1

삼각형 ABC에서 $\angle A$의 외각이 $130°$이고 $\angle B = 60°$일 때 $\angle C$를 구하시오.

$\angle A$ = $180° - 130° = 50°$. $\angle C = 180° - 50° - 60° = 70°$.

PROB 2

이등변삼각형의 꼭지각이 $40°$일 때 한 밑각의 외각의 크기를 구하시오.

한 밑각 = $(180° - 40°) \div 2 = 70°$. 외각 = $180° - 70° = 110°$. (또는 외각 정리: 꼭지각 + 다른 밑각 = $40° + 70° = 110°$ ✓)

🔗 연결 개념

삼각형의 내각합 $180°$가 모든 다각형 공식의 출발점이에요. $n$각형 내각합 $180°(n-2)$는 다각형을 $n-2$개의 삼각형으로 나눈 결과.

이 유형이 어려운 이유

$180°(n-2)$ 공식 자체는 단순하지만, 직접/역산/미지각 세 가지 방향으로 변형되어 나와요. 또한 "한 꼭짓점 분할 삼각형 = $n-2$" "내각합 = $180°(n-2)$" 두 사실을 분리해서 기억해야 해요.

핵심 아이디어 — 분할 삼각형

$n$각형 내각의 합 = $180° \times (n-2)$

다각형의 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점들로 대각선을 그으면 $n - 2$개의 삼각형이 만들어져요. 삼각형 하나당 $180°$.

$n$각형	분할 삼각형	내각의 합
3	1	180°
4	2	360°
5	3	540°
6	4	720°
7	5	900°
8	6	1080°
9	7	1260°
10	8	1440°
12	10	1800°

외워두면 좋은 값: 사각형 360, 오각형 540, 육각형 720, 팔각형 1080, 십각형 1440, 십이각형 1800.

역산 — 내각합 → $n$ 구하기

$180°(n-2) = S$ → $n - 2 = S \div 180$ → $n = S \div 180 + 2$.

$S = 540°$ → $n = 5$
$S = 720°$ → $n = 6$
$S = 1080°$ → $n = 8$
$S = 1440°$ → $n = 10$

미지각 — 다각형의 한 각 찾기

다각형의 모든 내각이 주어지고 한 각만 미지수일 때:
$\sum \angle_i = 180°(n-2)$ 식에 모든 알려진 각을 대입하고 미지각을 풀어요.

자주 하는 실수

❌

"$n$각형 내각합 = $180° \times n$"으로 외움

분할 삼각형 수는 $n-2$. 사각형은 2개의 삼각형로 나뉘지 4개로 안 나뉘어요.

❌

"분할 삼각형 수 = $n - 3$" (대각선 수와 헷갈림)

$n - 3$은 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수. 분할 삼각형은 그것보다 1 더 많은 $n - 2$.

❌

내각합 비례 풀이에서 단위 누락

"$2x + 3x + 4x = 180$" 처럼 도수(°) 표시 없이 풀면 헷갈려요. 항상 $180°$, $540°$ 단위 표시.

추가 문제

PROB 1

내각의 합이 $1800°$인 다각형의 변의 수는?

$180°(n-2) = 1800°$ → $n = 12$. 십이각형, 변 12개.

PROB 2

한 꼭짓점에서 분할되는 삼각형이 9개인 다각형의 모든 내각의 합은?

$n - 2 = 9$ → $n = 11$. 내각합 = $180° \times 9 = 1620°$.

🔗 연결 개념

내각합 공식 도출 정신("삼각형으로 쪼개기")은 가우스의 패턴 발견과 같아요. 다음 단계: 외각의 합도 사실 이 공식에서 나와요 (180n - 180(n-2) = 360).

이 유형이 어려운 이유

외각의 합 = $360°$가 변의 수에 무관이라는 사실이 처음엔 직관에 어긋나요. "삼각형이든 백각형이든 같다고?" 하는 의문이 들 수 있어요.

핵심 아이디어 — 두 가지 설명

설명 1 — 대수적

한 꼭짓점에서 (내각) + (외각) = $180°$.
모든 꼭짓점의 합 = $180° \times n$.
외각의 합 = $180°n - $ 내각의 합 = $180°n - 180°(n-2) = 360°$.

외각의 합 = $360°$ ($n$ 무관)

설명 2 — 한 바퀴 (직관)

다각형 둘레를 따라 한 바퀴 걷는 상황을 상상해보세요. 한 바퀴 돌면 방향이 360° 회전한 셈. 그 회전량이 외각의 합.

변이 잘게 쪼개질수록 외각 하나는 작아져요 — 정100각형은 한 외각이 $3.6°$. 하지만 합은 항상 $360°$. 한 바퀴는 한 바퀴니까.

활용 — 미지 외각 / 미지 $n$

외각이 모두 같은 정$n$각형: 한 외각 = $\dfrac{360°}{n}$
외각 비례 $a : b : c : d$ → 합 비례로 $360°$ 분할
일부 외각이 주어지면 나머지 외각 = $360° - $ 알려진 외각의 합

자주 하는 실수

❌

"외각의 합도 $n$에 따라 변한다"

변의 수에 관계없이 항상 $360°$. 이 점이 다각형 단원 시험에서 가장 자주 나오는 함정.

❌

"한 외각 = $\dfrac{180°}{n}$"

정$n$각형 한 외각은 $\dfrac{360°}{n}$. (외각의 합 = 360°이니까.)

❌

한 꼭짓점에서 외각을 두 번 더함

한 꼭짓점에서 외각은 양쪽으로 그릴 수 있지만 맞꼭지각이라 같음 → 1개로 셈.

추가 문제

PROB 1

백각형의 외각의 합은?

$360°$. 외각의 합은 변의 수에 관계없이 항상 $360°$.

PROB 2

한 다각형의 모든 외각이 같고 그 크기가 $24°$일 때, 변의 수는?

$\dfrac{360°}{n} = 24°$ → $n = 15$. 정십오각형.

PROB 3

사각형 ABCD에서 세 외각이 $80°, 95°, 105°$일 때 나머지 한 외각과 그 꼭짓점의 내각의 크기는?

나머지 외각 = $360° - 80° - 95° - 105° = 80°$. 그 꼭짓점 내각 = $180° - 80° = 100°$.

🔗 연결 개념

외각의 합 $360°$는 정다각형 한 외각(유형 6) 공식의 핵심 ($\dfrac{360°}{n}$). 또한 "한 바퀴 회전 = $360°$" 직관은 단원 10(원과 부채꼴)의 중심각 합 $360°$로 자연스럽게 이어져요.