유형 7 · H3

OA=OB, OC=OD, ∠AOC=∠BOD → AC=BD 증명

합동의 최대 활용 — 합동을 보이는 목적은 대응 관계에서 원하는 정보를 추출하는 것이에요.

이 단원 핵심 용어
합동(≅): 두 도형이 모양과 크기가 완전히 같음 (≡ 기호 쓰기도 함) · 대응: 합동인 두 도형에서 서로 겹치는 꼭짓점·변·각 · SSS 합동: 세 변의 길이가 모두 같음 · SAS 합동: 두 변의 길이와 그 사이 각이 같음 · ASA 합동: 두 각의 크기와 그 사이 변의 길이가 같음

문제

$\overline{OA} = \overline{OB}$, $\overline{OC} = \overline{OD}$이고 $\angle AOC = \angle BOD$인 그림에서,
$\triangle AOC$와 $\triangle BOD$가 합동임을 보이시오.
또 $\overline{AC} = \overline{BD}$의 결론까지 도출하시오.

주어진 것 3가지: OA=OB, OC=OD, ∠AOC=∠BOD
두 변과 끼인각 — SAS의 냄새가 나요!
∠AOC가 변 OA와 변 OC 사이의 각인지 확인하면 됩니다.

STEP 1

SAS 조건 확인

세 가지 주어진 조건이 SAS를 만족하는지 정리해요.

$\triangle AOC$와 $\triangle BOD$에서:

① $\overline{OA} = \overline{OB}$

이유: 주어진 조건

② $\angle AOC = \angle BOD$

이유: 주어진 조건

③ $\overline{OC} = \overline{OD}$

이유: 주어진 조건

패턴 확인: 변 OA — 각 ∠AOC — 변 OC
→ ∠AOC는 꼭짓점 O에서 OA와 OC가 만드는 각
→ OA와 OC 사이의 끼인각 = ∠AOC ✓
→ SAS 성립!

STEP 2

합동 결론 내리기

SAS 조건 확인 완료 → 합동 선언!

$\overline{OA} = \overline{OB}$ (주어짐)
$\angle AOC = \angle BOD$ (주어짐, 끼인각)
$\overline{OC} = \overline{OD}$ (주어짐)

$$\therefore \triangle AOC \equiv \triangle BOD \quad (\text{SAS})$$

합동이 확인되었으므로 대응 관계를 읽어요.

대응: A ↔ B, O ↔ O, C ↔ D
대응변: $\overline{AC} \leftrightarrow \overline{BD}$

STEP 3

최종 결론: AC = BD

합동에서 대응변이 같다는 사실 → 원하는 결론 도출!

$\triangle AOC \equiv \triangle BOD$ (SAS)
A ↔ B, O ↔ O, C ↔ D
대응변 $\overline{AC} \leftrightarrow \overline{BD}$

$$\therefore \overline{AC} = \overline{BD}$$

    합동 활용의 핵심 패턴:

    합동을 보이는 것 자체가 목적이 아니에요.

    합동을 보인 다음, 대응변·대응각이 같다는 정보를 끌어내는 것이 진짜 목적이에요.

    "합동 증명 → 대응 읽기 → 원하는 정보 추출" 이 3단계가 기본 패턴입니다.

정답 ★

SAS 합동 → AC = BD

정답

△AOC ≡ △BOD (SAS)
∴ AC = BD

1OA=OB, OC=OD (주어짐)

2∠AOC=∠BOD (주어짐, 끼인각)

3변·끼인각·변 → SAS 합동

4대응 A↔B, O↔O, C↔D → 대응변 AC ↔ BD

5대응변 같음 → AC = BD ✓

합동 증명의 3단계 패턴:
① 같은 것 3가지 모으기 (변·각·변 또는 변·변·변 또는 각·변·각)
② 합동 조건 이름 쓰기 (SAS / SSS / ASA)
③ 대응 관계에서 원하는 결론 읽기

이 패턴이 중1부터 고등학교 기하까지 이어지는 증명의 기본 골격이에요.