평행에서 엇각이 같다는 사실이 SAS의 "각" 부분이 됩니다. 평행 정보를 각도 정보로 변환하는 법을 연습해요.
이 단원 핵심 용어
합동(≅): 두 도형이 모양과 크기가 완전히 같음 (≡ 기호 쓰기도 함) ·
대응: 합동인 두 도형에서 서로 겹치는 꼭짓점·변·각 ·
SSS 합동: 세 변의 길이가 모두 같음 ·
SAS 합동: 두 변의 길이와 그 사이 각이 같음 ·
ASA 합동: 두 각의 크기와 그 사이 변의 길이가 같음
문제
사각형 ABCD에서 $\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$이다.
대각선 BD를 그렸다.
$\triangle ABD$와 $\triangle CDB$가 합동인지 판단하고, 합동 조건을 답하시오.
또 이로부터 얻을 수 있는 결론을 말하시오.
주어진 것: $\overline{AB} = \overline{CD}$, AB ∥ CD, 대각선 BD.
두 삼각형의 공통변을 찾고, 평행 조건에서 각도 정보를 끌어낼 수 있어요.
STEP 1
공통변과 평행에서 각도 찾기
평행 → 엇각이 같다. 이 변환이 핵심이에요.
① $\overline{AB} = \overline{CD}$
이유: 주어진 조건
② $\overline{BD}$ 공통
이유: 두 삼각형이 같은 선분 BD를 변으로 가짐
③ $\angle ABD = \angle CDB$
이유: AB ∥ CD 이고 BD가 엇각을 만드는 사선 → 엇각은 같다
AB ∥ CD, 대각선 BD (사선)
∠ABD와 ∠CDB는 엇각(alternate interior angles)
→ $\angle ABD = \angle CDB$
STEP 2
끼인각 확인 후 합동 선언
∠ABD가 변 AB와 변 BD 사이의 각인지 확인해요 — SAS의 "끼인각" 조건!
$\triangle ABD$에서:
변 $\overline{AB}$와 변 $\overline{BD}$ 사이의 각 = $\angle ABD$
(∵ 꼭짓점 B에서 두 변 BA, BD가 만남)
$\triangle CDB$에서:
변 $\overline{CD}$ (= DC)와 변 $\overline{DB}$ (= BD) 사이의 각 = $\angle CDB$
(∵ 꼭짓점 D에서 두 변 DC, DB가 만남)
따라서 두 변과 끼인각이 모두 같음 → SAS 합동!
$$\triangle ABD \equiv \triangle CDB \quad (\text{SAS})$$
STEP 3
합동으로 얻는 결론
합동을 보였으면 대응변·대응각이 같다는 정보를 활용해요.
$\triangle ABD \equiv \triangle CDB$에서 대응 관계:
A ↔ C, B ↔ D, D ↔ B
대응변: $\overline{AD} \leftrightarrow \overline{CB}$
따라서:
$\overline{AD} = \overline{CB}$
→ 사각형 ABCD에서 AB = CD이고 AB ∥ CD 이면, AD = BC도 성립!
이것이 바로 평행사변형의 대변이 같다는 성질의 일부입니다.
주의: △ABD와 △CDB는 같은 대각선 BD를 공유하지만, 두 삼각형의 꼭짓점 순서가 다릅니다.
△ABD ≡ △CDB에서 B↔D, D↔B (서로 교차)인 점을 주의하세요.
정답 ★
SAS 합동 → AD = BC
정답
△ABD ≡ △CDB (SAS) 결론: AD = BC
1AB = CD (주어짐)
2BD 공통
3∠ABD = ∠CDB (AB ∥ CD, 엇각)
4변·끼인각·변 → SAS 합동
5대응변 AD = CB → 결론
엇각 활용: 평행 조건이 주어지면 엇각·동위각으로 각을 같음을 이끌어내는 것이 합동 증명의 핵심 도구예요.
"평행 → 엇각 같음 → SAS" 패턴을 기억하세요.