유형 7 · H1

이등변삼각형 — 꼭지각 이등분선의 성질

합동을 증명하면 "대응변·대응각이 같다"는 결론을 끌어낼 수 있어요. 합동 활용의 핵심 패턴입니다.

이 단원 핵심 용어
합동(≅): 두 도형이 모양과 크기가 완전히 같음 (≡ 기호 쓰기도 함) · 대응: 합동인 두 도형에서 서로 겹치는 꼭짓점·변·각 · SSS 합동: 세 변의 길이가 모두 같음 · SAS 합동: 두 변의 길이와 그 사이 각이 같음 · ASA 합동: 두 각의 크기와 그 사이 변의 길이가 같음

문제

이등변삼각형 ABC에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$이다.
∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하자.
$\triangle ABD$와 $\triangle ACD$가 합동임을 보이고,
그 결과로 얻을 수 있는 결론 두 가지를 쓰시오.

합동 조건을 찾으려면 두 삼각형에서 같은 것을 3가지 모아야 해요.
주어진 정보: $\overline{AB}=\overline{AC}$, ∠BAD=∠CAD, 그리고 공통인 변이 있어요.

STEP 1

같은 것 3가지 모으기

합동을 증명하려면 SAS, SSS, ASA 중 하나를 만족하는 3가지 정보가 필요해요.

$\triangle ABD$와 $\triangle ACD$에서 같은 것을 찾아요.

① $\overline{AB} = \overline{AC}$

이유: 이등변삼각형 조건 (주어진 것)

② $\angle BAD = \angle CAD$

이유: ∠A의 이등분선이 AD이므로 (주어진 것)

③ $\overline{AD}$ 공통

이유: 두 삼각형이 같은 선분 AD를 공유함

정보 패턴: 변(AB) — 각(∠BAD) — 변(AD)
∠BAD는 변 AB와 변 AD 사이의 끼인각 → SAS!

STEP 2

합동 결론 내리기

3가지 정보가 SAS를 만족 → 합동 결론!

두 변과 끼인각이 같으므로 SAS 합동:

$$\triangle ABD \equiv \triangle ACD \quad (\text{SAS})$$

이제 합동이 확인되었으니, 대응변·대응각을 읽을 수 있어요.

대응: A↔A, B↔C, D↔D
대응변: $\overline{BD} \leftrightarrow \overline{CD}$
대응각: $\angle ADB \leftrightarrow \angle ADC$

STEP 3

결론 두 가지 도출

합동에서 얻는 대응변·대응각 정보로 새로운 사실을 이끌어내요.

결론 1: $\overline{BD} = \overline{CD}$

대응변 BD ↔ CD가 같음 → AD가 BC를 이등분 → D는 BC의 중점

결론 2: $\angle ADB = \angle ADC = 90°$

대응각 ∠ADB = ∠ADC, 두 각의 합이 평각(180°) → 각각 90° → AD ⊥ BC

$\angle ADB + \angle ADC = 180°$ (평각)
$\angle ADB = \angle ADC$ (합동)
→ $2 \times \angle ADB = 180°$ → $\angle ADB = 90°$

정답 ★

SAS 합동 → 꼭지각 이등분선 = 밑변의 수직이등분선

정답

△ABD ≡ △ACD (SAS)
결론 ①: BD = CD (D는 BC의 중점)
결론 ②: AD ⊥ BC (AD는 BC에 수직)

1AB=AC (이등변), ∠BAD=∠CAD (이등분선), AD 공통

2변·각·변 → SAS 합동

3BD=CD (대응변), ∠ADB=∠ADC (대응각)

4두 각 합 = 평각 → 각각 90° → AD ⊥ BC

이등변삼각형의 핵심 성질:
"꼭지각의 이등분선 = 밑변의 수직이등분선"
이 사실을 합동(SAS)으로 증명할 수 있어요. 합동 활용의 대표 패턴입니다.