두 삼각형에서 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝의 두 각이 각각 같음을 알았다. 어떤 합동 조건인가?
각·변·각 순서.
ASA 한 변 + 양 끝 두 각 → Angle-Side-Angle = ASA.
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M
두 삼각형 ABC와 DEF에서 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\angle B = \angle E$이다. 두 삼각형이 합동인가? 어느 조건?
∠B는 어느 두 변 사이에 있나요? AB와 BC가 만나는 꼭짓점이 B예요.
합동, SAS $\overline{AB}$와 $\overline{BC}$의 끼인각은 ∠B (꼭짓점 B에서 만남). $\overline{DE}$와 $\overline{EF}$의 끼인각은 ∠E. 따라서 두 변(AB=DE, BC=EF)과 끼인각(∠B = ∠E) 같음 → SAS 합동 ✓
2
M
아래 그림에서 점 M이 $\overline{AB}$의 중점이고, $\overline{CM} \perp \overline{AB}$이다. $\triangle ACM$과 $\triangle BCM$이 합동임을 보이고 합동 조건을 답하시오.
중점이므로 두 변 같음. 수직이므로 두 직각 같음. 공통변은? 어떤 합동 조건이 만들어지나요?
SAS 합동 $\overline{AM} = \overline{BM}$ (M이 중점) $\angle AMC = \angle BMC = 90°$ (수직) $\overline{CM}$ 공통 → 두 변과 끼인각 → SAS 합동 ✓ $\therefore \triangle ACM \equiv \triangle BCM$ 이로부터 $\overline{CA} = \overline{CB}$ → 이등변삼각형!
3
M
두 직선 $l$, $m$이 점 O에서 만난다. 두 직선 위에 각각 $\overline{OA} = \overline{OC}$, $\overline{OB} = \overline{OD}$가 되도록 점 A, C와 B, D를 잡았다 (A·B는 한 쪽, C·D는 반대 쪽). 그러면 $\triangle OAB$와 $\triangle OCD$는 합동인가?
∠AOB와 ∠COD는 어떤 관계? 맞꼭지각이에요.
합동, SAS $\overline{OA} = \overline{OC}$ (가정) $\overline{OB} = \overline{OD}$ (가정) $\angle AOB = \angle COD$ (맞꼭지각) → 두 변(OA=OC, OB=OD)과 끼인각(∠AOB=∠COD) 같음 → SAS 합동 ✓ → $\overline{AB} = \overline{CD}$ 결과까지 얻음.
★ 맞꼭지각·공통변·중점 같은 정보가 합동 조건의 한 부분으로 자주 사용돼요.
1
H
이등변삼각형 ABC에서 $\overline{AB} = \overline{AC}$이다. ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하자. $\triangle ABD$와 $\triangle ACD$가 합동임을 보이고, 그 결과로 얻을 수 있는 결론 두 가지를 쓰시오.
$\overline{AB}=\overline{AC}$, ∠BAD=∠CAD, $\overline{AD}$ 공통. 어떤 합동 조건?
SAS 합동 $\overline{AB} = \overline{AC}$ (이등변, 가정) $\angle BAD = \angle CAD$ (각의 이등분선, 가정) $\overline{AD}$ 공통 → 두 변과 끼인각 → SAS 합동 ✓ $\therefore \triangle ABD \equiv \triangle ACD$
결론 두 가지: 1. $\overline{BD} = \overline{CD}$ → AD가 BC를 이등분 (D는 BC의 중점) 2. $\angle ADB = \angle ADC = 90°$ → AD가 BC에 수직 → 즉, 꼭지각의 이등분선이 밑변의 수직이등분선! 이등변삼각형의 핵심 성질.
2
H
사각형 ABCD에서 $\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$이다 (사다리꼴 비슷한 모양). 대각선 BD를 그렸다. $\triangle ABD$와 $\triangle CDB$가 합동인지 판단하고, 합동 조건을 답하시오.
평행이면 엇각이 같음. 공통변은? 두 변과 한 각이 같으면 끼인각인지 확인.
SAS 합동 $\overline{AB} = \overline{CD}$ (가정) $\overline{BD}$ 공통 $\angle ABD = \angle CDB$ (∵ AB ∥ CD, 엇각) 이때 ∠ABD는 변 BA와 변 BD 사이의 끼인각, ∠CDB는 변 DC와 변 DB 사이의 끼인각. 두 변(AB=CD, BD 공통)과 그 끼인각이 같음. → SAS 합동 ✓ $\therefore \triangle ABD \equiv \triangle CDB$ (이는 평행사변형 성질의 한 부분 — AD = BC도 결과로 얻음)
3
H
$\overline{OA} = \overline{OB}$, $\overline{OC} = \overline{OD}$이고 ∠AOC = ∠BOD인 그림에서 $\triangle AOC$와 $\triangle BOD$가 합동임을 보이시오. 또 $\overline{AC} = \overline{BD}$의 결론까지 도출하시오. (단, A·C는 한쪽 직선 위, B·D는 다른 직선 위가 아닌 일반 위치)
두 변과 그 사이의 각이 같으니까 SAS.
SAS 합동 $\overline{OA} = \overline{OB}$ (가정) $\overline{OC} = \overline{OD}$ (가정) $\angle AOC = \angle BOD$ (가정) 이 각은 변 OA와 OC 사이의 끼인각이자 변 OB와 OD 사이의 끼인각. → SAS 합동 ✓ $\therefore \triangle AOC \equiv \triangle BOD$ 대응변에서 $\overline{AC} = \overline{BD}$ ✓ → 두 삼각형이 합동임을 보이면 그 대응변·대응각이 같다는 결론을 얻을 수 있음. 합동의 가장 큰 활용이 바로 이것!
★ 합동을 보이는 이유는 "그 결과로 다른 변·각이 같음"을 결론짓기 위해서예요. 합동 ≡ 보이기 → 대응 정보 활용. 이게 평면도형 증명의 가장 기본적 패턴이에요.