다음 중 삼각형이 하나로 정해지는 조건을 모두 고르시오. (가) 세 변의 길이 (SSS) (나) 두 변과 끼인각 (SAS) (다) 한 변과 양 끝 두 각 (ASA) (라) 세 각 (AAA) (마) 두 변과 한 각 (단, 끼인각이 아님) (SSA)
합동 조건은 정확히 세 가지: SSS, SAS, ASA. 나머지는 모양만 같거나 모호함.
(가), (나), (다) (가)(나)(다) 합동 조건 ✓ (라) AAA: 모양만 같음, 크기 다양 → 안 정해짐 (마) SSA: 두 가지 모양 가능 (모호한 경우)
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"두 변의 길이가 5cm, 7cm이고 그 사이의 끼인각이 60°이다." 이 조건은 어느 작도 조건에 해당하는가?
"끼인각" = 두 변 사이의 각.
SAS 두 변 5, 7 + 그 사이 끼인각 60° → SAS (Side-Angle-Side) → 삼각형이 하나로 정해짐.
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L
"한 변의 길이가 6cm이고, 그 양 끝의 두 각이 50°와 70°이다." 이 조건은 어느 작도 조건에 해당하는가?
"양 끝 두 각" = 그 변의 양 끝점에 있는 두 각.
ASA 한 변 6 + 양 끝 두 각 (50°, 70°) → ASA (Angle-Side-Angle) (50° + 70° = 120° < 180° 이므로 조건 만족) → 삼각형이 하나로 정해짐.
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다음 정보 중 삼각형을 작도할 수 없는 것을 모두 고르시오. (가) 세 변 4cm, 5cm, 6cm (나) 세 변 2cm, 3cm, 6cm (다) 세 변 4cm, 4cm, 4cm (라) 두 각 100°, 90°와 한 변 5cm
삼각형 부등식: 두 변의 합 > 나머지 한 변. 삼각형 내각의 합 = 180°.
(나), (라) (가) 4+5=9 > 6 ✓ 삼각형 가능 (나) 2+3=5 < 6 → 두 변 합이 나머지 한 변보다 작음. 삼각형 X (한 변이 너무 길어서 닿지 않음) (다) 정삼각형 ✓ (라) 두 각 100°+90° = 190° > 180° → 삼각형 X (내각의 합 모순)
★ 작도 조건은 만족해도 실제 삼각형이 가능한지 확인 필요. 길이 조건(부등식)과 각 조건(합 < 180°)을 동시에 봐야 해요.
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"두 변 5cm, 6cm와 한 각 40°"가 주어졌다. 이 조건만으로 삼각형이 하나로 정해지는가? 그 이유는?
"한 각"이 두 변 사이의 끼인각인지 아닌지가 결정적.
40°가 끼인각이면 SAS로 하나로 정해짐. 끼인각이 아니면 SSA로 두 가지 가능 (모호). 경우 1: 5와 6 사이의 끼인각 = 40° → SAS → 하나로 결정 ✓ 경우 2: 5의 한쪽 끝 각 = 40° (6 변과 직접 인접하지 않음) → SSA → 두 모양 가능 X → "한 각"의 위치를 정확히 알아야 답을 결정할 수 있음.
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M
"한 변 5cm와 그 한쪽 끝의 한 각 60°"가 주어졌다. 삼각형을 작도하기 위해 추가로 필요한 정보 1개를 고르시오. (모든 답이 가능한 답) (가) 그 변의 다른쪽 끝 각 (나) 인접한 한 변의 길이 (다) 다른 두 변의 길이 (각 1개씩)
3가지 합동 조건 SSS, SAS, ASA를 채워 넣을 방법이 무엇인가요?
(가), (나) (가) 한 변 + 양 끝 두 각 → ASA ✓ (나) 한 변(5cm) + 인접 변 + 끼인각(60°) → SAS ✓ (다) 한 각만 알고 두 변을 추가 = 끼인각 위치 모호 → SSA 가능성 → 항상 결정 X → 합동 조건의 핵심은 "어디에 있는 정보인지"가 중요.
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"두 변 7cm, 5cm와 5cm 변의 끝 각 30°가 주어졌다. 5cm 변의 다른 끝과 7cm 변의 다른 끝을 연결한다." 이 작도 조건이 SSA(모호한 경우)에 해당하는지 확인하고, 가능한 삼각형의 개수를 구하시오. (정성적 설명 가능)
5cm 변과 30° 각이 서로 직접 인접 (한 끝에 있음). 7cm 변은 30° 각의 끼인 위치가 아님 → SSA. 두 가능성을 SVG로 떠올려 보세요.
SSA에 해당. 가능한 삼각형 2개 꼭짓점 O에 30° 각 + 한 변 OA = 5cm. 다른 변 OB는 ?cm까지 자유. 단 점 A에서 7cm 떨어진 점이 B이고 B는 30° 각의 다른 변 위. A에서 7cm 호를 그어 30°의 다른 변과의 교점을 찾으면 두 점에서 만남 (한 점은 O 가까이, 한 점은 O 멀리). → 두 가지 모양의 삼각형 가능. SSA는 합동 조건이 아님 확인. (특수한 경우: 호가 한 점에서 접하면 1개, 만나지 않으면 0개)
★ "두 변과 한 각"이 같다고 무조건 합동이 아니에요. 끼인각인지 확인 필수.
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SAS 작도 조건으로 삼각형 ABC를 작도하려고 한다. $\overline{AB} = 4$ cm, $\overline{AC} = 6$ cm, $\angle A = 60°$ 일 때, 작도 절차를 단계별로 설명하시오.
한 변을 먼저 그리고, 그 한쪽 끝에 60° 각을 작도. 그 각의 다른 변 위에 6cm를 옮겨요.
① 자로 길이 4cm의 선분 $\overline{AB}$ 그리기 (다른 단위 선분이 주어졌다고 가정) ② A에서 ∠A = 60°를 작도 (각 옮기기 절차로) ③ ②에서 그린 다른 변 위에 컴퍼스로 길이 6cm 옮겨 점 C 결정 ④ B와 C를 자로 잇기 → 삼각형 ABC 완성 핵심: SAS의 끼인각(∠A)을 먼저 작도하고, 그 양 변에 두 길이(4, 6)를 옮겨요. 이 절차는 단 하나의 삼각형을 만들어 SAS 합동을 보장.
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H
"세 각의 크기만 같으면 두 삼각형은 합동이다"라는 명제가 거짓임을 보이는 반례를 들고, 그 대신 두 삼각형이 닮음(모양만 같음)이 됨을 설명하시오.
정삼각형은 세 각이 모두 60°. 크기를 다르게 두 개 그릴 수 있을까요?
반례: 한 변 1cm 정삼각형과 한 변 100cm 정삼각형 두 삼각형 모두 세 각이 60°·60°·60°로 같음. 그러나 크기(변의 길이)가 다르므로 포개도 겹치지 않음 → 합동 X. → 같은 모양이지만 크기가 다른 두 도형은 닮음(similar)이라고 해요. → 합동은 닮음 + 크기까지 같음. → 그래서 AAA는 합동 조건이 아님. 합동 조건엔 길이 정보가 적어도 1개 필요.
★ 합동 ≠ 닮음. 합동은 더 강한 조건. AAA는 닮음 조건은 되지만 합동 조건은 아님.