① SSS 삼각형 OAP와 OBP에서: $\overline{OA} = \overline{OB}$ (1단계 같은 호 반지름) $\overline{AP} = \overline{BP}$ (2·3단계 같은 반지름) $\overline{OP}$ 공통 → SSS 합동 → ∠AOP = ∠BOP (대응각) → 이등분 ✓
1
M
∠AOB의 이등분선 위에 점 P가 있다. P에서 OA와 OB까지의 거리는 어떤 관계인가? (거리 = 점 P에서 직선까지의 수직 거리)
P에서 OA·OB로 내린 두 수선의 길이를 비교해 봐요. 그 두 삼각형은 합동일까?
같다 ($d_1 = d_2$) P에서 OA·OB로 내린 수선의 발을 각각 H₁, H₂라 하자. 두 직각삼각형 OPH₁과 OPH₂에서: $\angle POH_1 = \angle POH_2$ (이등분, 가정) $\angle PH_1O = \angle PH_2O = 90°$ (수선) $\overline{OP}$ 공통 → 한 변과 양 끝 두 각 같음 → ASA 합동 (또는 RHA) → $\overline{PH_1} = \overline{PH_2}$ ✓ → 각의 이등분선 위 점 = 두 변에서 거리 같은 점!
2
M
∠AOB = 60°이다. 이 각을 두 번 연속 이등분하면 결과 각의 크기는?
한 번 이등분 → ?, 그 결과를 다시 이등분 → ?
15° 1번 이등분: $60° \div 2 = 30°$ 2번 이등분: $30° \div 2 = 15°$ → 자와 컴퍼스로 60°를 4등분한 결과.
3
M
∠XOY = 90° (직각)의 이등분선을 작도했을 때, 그 이등분선과 OX 사이의 각은? 또 그 이등분선이 가지는 특별한 성질은?
90°를 반으로 나누면? 각도가 45°인 도형이라면 두 변의 비율은?
45° / 직각이등변삼각형의 대각선과 같은 방향 $90° \div 2 = 45°$ 이등분선과 OX, OY 모두 45° → 직각이등변삼각형의 대각선 방향 → 정사각형이나 직각이등변삼각형 작도에 활용 가능.
1
H
두 직선 $l$, $m$이 점 O에서 만나 90°가 아닌 각을 이룬다. 두 직선에서 같은 거리에 있는 점들의 자취는?
M1의 결과를 거꾸로 적용해요. 두 직선이 만나면 4개의 각이 생겨요.
O에서 만나는 서로 수직인 두 이등분선 두 직선의 교차로 4개의 각이 생기고 (서로 맞꼭지각 두 쌍) 4개의 각의 이등분선은 두 개의 직선 (서로 수직) → 두 직선 모두 점 O를 지남. (고등학교에서 "두 직선의 각이등분선은 서로 수직"이라는 정리로 다시 만남) 핵심: 각 이등분선 위 모든 점은 두 변에서 거리 같음 (M1 결과의 역).
2
H
삼각형 ABC의 세 내각의 이등분선이 한 점 I에서 만난다. 점 I의 의미는?
∠A의 이등분선 위 I → I는 변 AB와 변 AC에서? ∠B의 이등분선 위 I → I는 변 BA와 변 BC에서?
I는 세 변 AB, BC, CA에서 모두 같은 거리에 있는 점 ∠A 이등분선 위 I → I는 변 AB·AC에서 거리 같음 ∠B 이등분선 위 I → I는 변 BA·BC에서 거리 같음 → I는 변 AB·BC·CA 모두에서 같은 거리 → I를 중심으로 그 거리만큼 반지름인 원을 그리면 세 변에 모두 닿음 = 삼각형의 내접원의 중심(내심) → 세 각의 이등분선이 항상 한 점에서 만나는 이유!
3
H
자와 컴퍼스로 60°를 작도한 후 이등분 작도를 사용해 30°와 15°를 만들었다. 같은 방법으로 만들 수 없는 각은? (가) 7.5° (나) 22.5° (=90°의 4분의 1) (다) 20° (=60°의 3분의 1) (라) 45°
자와 컴퍼스로 가능한 작도는 "이등분"의 반복 + 각의 합·차. 삼등분은? (그리스 3대 문제 중 하나)
(다) 20° (가) 7.5° = 60° → 30° → 15° → 7.5° (이등분 4번) ✓ (나) 22.5° = 90° → 45° → 22.5° (이등분 2번) ✓ (다) 20° = 60°의 3분의 1. 자와 컴퍼스로는 임의의 각 삼등분이 불가능 (19세기 증명) → 60°를 삼등분해서 20°를 만드는 것은 자와 컴퍼스로 X (라) 45° = 90°의 이등분 ✓ → 도구의 한계가 존재해요. 같은 도구라도 모든 각을 만들 수는 없어요.