작도(作圖)에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르시오. (가) 자에 눈금이 있어도 된다 (나) 컴퍼스로 길이를 옮길 수 있다 (다) 각도기로 각의 크기를 잴 수 있다 (라) 자로 두 점을 잇는 직선을 그을 수 있다
작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용해요. 각도기와 눈금 자는 금지.
(나), (라) (가) 자에 눈금이 있으면 작도가 아님 X (나) 컴퍼스 벌림 = 길이, 옮기기 가능 ✓ (다) 각도기 사용 금지 X (라) 자의 역할은 직선 긋기 ✓
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컴퍼스만으로 할 수 있는 일이 아닌 것은?
① 한 점을 중심으로 호 그리기 ② 같은 길이를 다른 위치에 옮기기 ③ 한 점을 중심으로 원 그리기 ④ 두 점을 잇는 직선 긋기
컴퍼스의 두 다리는 굽어지지 않아요. 직선은 누가 그을까요?
④ 직선 긋기는 자의 역할 ① 호, ② 길이 옮기기, ③ 원은 모두 컴퍼스 가능. ④ 두 점을 잇는 직선은 자가 그어요. 컴퍼스로는 불가.
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다음 중 작도라고 할 수 있는 것은?
① 눈금자로 5cm를 잰 후 그 길이만큼 선분을 그린다 ② 각도기로 60°를 잰 후 정삼각형을 그린다 ③ 컴퍼스를 같은 반지름으로 두 점에서 호를 그어 교점을 찾는다 ④ 자유로운 손으로 곡선을 그린다
길이·각도를 직접 재면 작도 아님. 손으로 그리는 건 정확하지 않음.
③ ① 눈금자 사용 X ② 각도기 사용 X ④ 자유 곡선 X ③ 컴퍼스로 호의 교점 찾기는 작도의 핵심 절차 ✓
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M
선분 $\overline{AB}$와 같은 길이의 선분 $\overline{CD}$를 작도하는 절차에서, 가장 먼저 컴퍼스로 해야 할 일은?
컴퍼스의 벌림 = 옮길 길이. 어떤 길이를 먼저 "기억"해야 할까요?
컴퍼스를 A에 꽂고 B까지 벌려 $\overline{AB}$ 길이를 잡는다 이렇게 하면 컴퍼스 벌림 = $\overline{AB}$의 길이 그 자체. 그 후 새 직선의 한 점 C에 컴퍼스를 꽂고 호를 그어 교점 D를 찾으면 $\overline{CD} = \overline{AB}$.
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M
아래 작도 단계 중 옳지 않은 단계를 고르시오 (수직이등분선 작도). ① 컴퍼스를 A에 꽂고 적당한 호를 그린다 ② 같은 반지름으로 B에 꽂고 호를 그어 두 교점 P, Q를 얻는다 ③ 자로 P와 Q를 연결한다 ④ 자로 직접 AB의 중점을 표시한 후 그 점에서 90°로 직선을 긋는다
중점을 "직접 표시"하거나 "90°"를 직접 긋는 건 작도의 결과를 가정하는 거예요.
④ ① ~ ③은 정상 절차 ✓ ④ 작도는 결과(중점·90°)를 미리 가정하지 않고 도구만으로 도출. 중점·수직 둘 다 자·각도기로 직접 만들면 안 됨.
★ 작도 = 결과가 자연스럽게 도출되는 과정. 결과를 미리 가정하면 작도가 아님.
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M
아래 표현 중 작도에서 사용 가능한 것을 모두 고르시오. (가) 컴퍼스로 호 그리기 (나) 자로 직선 긋기 (다) "두 호의 교점"이라는 표현 (라) "직선 위 임의의 점 P를 잡는다" (마) "각도기로 50°를 잰다"
교점을 "찾는" 것 vs 측정으로 "재는" 것의 차이.
(가), (나), (다), (라) (가)(나) 도구의 정상 사용 ✓ (다) 두 호의 교점은 자연스럽게 결정됨 (작도의 결과) ✓ (라) 직선 위 임의 점 잡기는 가능 ✓ (마) 각도기로 직접 측정은 작도가 아님 X
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H
한 친구가 자만 가지고 있다. 자만으로 정확히 그릴 수 있는 도형을 모두 고르시오. (가) 정삼각형 (나) 직선 (다) 두 점을 잇는 선분 (라) 원 (마) 정사각형
자(눈금 없음)는 점 둘이 주어졌을 때 그 둘을 잇는 직선만 그어요. "정확한 길이"는 보장 못 함.
(나), (다) 자는 두 점을 잇는 직선·선분만 가능. (가) 정삼각형: 세 변 같은 길이 보장 못 함 X (라) 원: 자로 곡선 그릴 수 없음 X (마) 정사각형: 직각 보장 못 함, 같은 길이 보장 못 함 X → 컴퍼스가 빠지면 "같은 길이"라는 핵심 정보를 만들 수 없어요. 작도에서 두 도구가 꼭 필요한 이유.
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H
정삼각형 ABC를 작도하는 다음 절차에서, ⓓ 단계의 의미를 설명하시오. ⓐ 자로 선분 $\overline{AB}$를 그린다 ⓑ 컴퍼스를 A에 꽂고 B까지 벌려 호를 그린다 ⓒ 컴퍼스 벌림을 그대로 두고 B에 꽂아 호를 그린다 ⓓ 두 호가 만나는 점을 C라 한다
A에서 그린 호 위 모든 점은? B에서 그린 호 위 모든 점은? 그 둘이 동시에 만족하는 점은?
C는 A에서도 B에서도 같은 거리(=$\overline{AB}$의 길이)에 있는 점 ⓑ A 중심 호 위 모든 점은 A에서 거리 $\overline{AB}$ ⓒ B 중심 호 위 모든 점은 B에서 거리 $\overline{AB}$ (같은 반지름) 두 호의 교점 C는 A·B에서 모두 같은 거리 → $\overline{CA} = \overline{CB} = \overline{AB}$ → 정삼각형 완성. 컴퍼스의 "같은 반지름"이 합동·정삼각형을 보장.
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H
"눈금 없는 자와 컴퍼스로는 임의의 각의 삼등분이 불가능하다"는 것이 19세기에 증명되었다. 다음 중 이 사실이 의미하는 것을 모두 고르시오. (가) 어떤 도구로도 각을 삼등분할 수 없다 (나) 종이접기로는 각을 삼등분할 수 있다 (다) 자와 컴퍼스라는 도구의 한계를 증명한 것이다 (라) 각의 이등분도 같은 이유로 불가능하다
"자와 컴퍼스"라는 한정된 도구의 한계 vs 모든 도구의 한계는 다른 이야기.
(나), (다) (가) X — "자와 컴퍼스로는" 불가능. 다른 도구는 가능할 수 있음. (나) ✓ — 종이접기는 더 강력한 작도 도구. 각의 삼등분 가능. (다) ✓ — 도구 자체의 한계가 발견된 것 (수학사적 의의) (라) X — 각의 이등분은 자와 컴퍼스로 가능 (이번 단원에서 배움). 삼등분만 불가능.
★ 도구가 곧 가능성의 경계예요. 같은 사람이라도 어떤 도구를 가지느냐에 따라 풀 수 있는 문제가 달라져요.