깊이 탐구 — 작도 기초 (도구·옮기기)

이 유형이 어려운 이유

"눈금이 없는 자"와 "각도기 사용 금지"가 처음엔 어색해요. 일상에서는 정확한 수치를 재는 도구가 자연스러운데, 작도는 거꾸로예요.

핵심 함정:
① 길이를 자로 직접 잰 후 "옮긴다" → 작도가 아님
② 각도기로 60° 잰 후 "정삼각형 그렸다" → 작도가 아님
③ "직선 위 임의의 점"은 OK, "AB의 중점 표시"는 결과 가정 → X

핵심 아이디어 — 도구 = 가능성의 경계

도구	가능	불가
눈금 없는 자	두 점을 잇는 직선	길이 측정·평행선 직접 그리기
컴퍼스	호·원·길이 옮기기	직선 긋기

왜 도구를 줄였을까?
각도기·눈금 자가 있어도 측정에는 오차가 있어요. 컴퍼스의 "같은 반지름" = 절대적으로 같은 길이.
→ 도구를 줄여서 측정의 오차 없이 같은 길이·같은 각을 만들 수 있어요.

"작도"의 진짜 의미

작도란 도구로 그리는 행위가 아니라, "이 정도 정보만으로 이 도형이 유일하게 결정된다"는 것을 손으로 보여주는 일이에요.

정삼각형 작도 = "한 변과 컴퍼스 두 호 만으로 정삼각형이 정해진다" 라는 수학적 사실의 시각화.

자주 하는 실수

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자에 눈금이 있어도 작도라고 생각

눈금 자로 길이를 직접 재면 작도가 아니에요. 자는 "두 점을 잇는다"는 역할만.

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"각도기로 60°를 잰 후 작도했다"

각도기 사용은 작도가 아님. 같은 60°가 필요하면 컴퍼스로 정삼각형 작도 후 그 한 각을 사용해요.

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"AB의 중점에서 90°로 직선 그었다"

중점·90°는 작도의 결과여야 해요. 미리 "표시"하고 시작하면 작도가 무너져요.

추가 문제 (점진적 난이도)

PROBLEM 1 (L)

"종이 한 장과 자(눈금 없음)와 컴퍼스만 있을 때, 그릴 수 있는 도형이 아닌 것은?"
① 정삼각형 ② 정육각형 ③ 정칠각형 ④ 정사각형

③ 정칠각형
정삼각형(컴퍼스 두 호), 정육각형(컴퍼스 6호), 정사각형(수직이등분선) 모두 자·컴퍼스로 작도 가능.
그러나 정칠각형은 자와 컴퍼스만으로는 작도 불가능 (가우스의 정리).
→ 같은 도구라도 모든 도형이 만들어지지는 않아요.

PROBLEM 2 (M)

정삼각형 작도에서 "두 호의 반지름이 같지 않으면" 어떤 결과가 나올까? 그래도 정삼각형이 만들어질까?

이등변삼각형이지만 정삼각형은 아님
A 중심 호의 반지름 $r_1$, B 중심 호의 반지름 $r_2$일 때:
교점 C에서 $\overline{CA} = r_1, \overline{CB} = r_2$.
$r_1 = r_2$가 아니면 $\overline{CA} \neq \overline{CB}$ → 두 변 다름.
$\overline{AB}$만 별도 길이 → 일반적으로 정삼각형 X.
$r_1 = r_2 = \overline{AB}$일 때만 세 변 모두 같음 → 정삼각형.
→ 정삼각형 작도의 핵심: 두 호의 반지름이 한 변 길이와 같음.

PROBLEM 3 (H)

자·컴퍼스로 가능한 작도와 불가능한 작도의 예를 각 2개씩 들고, "도구의 한계"를 본인의 말로 설명하시오.

가능: 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 60°·90°·45° 작도, 수직이등분선, 각의 이등분선
불가능: 임의의 각의 삼등분, 정칠각형, 정구각형, 원과 같은 넓이의 정사각형
도구의 한계: "자와 컴퍼스"라는 두 도구만 사용한다는 제약은, 그 도구로 도출할 수 있는 길이/각의 종류를 제한해요. 19세기에 갈루아 이론으로 어떤 길이/각이 도구로 만들어질 수 있는지가 정확히 분류됐어요.
→ 도구를 바꾸면 가능한 작도가 달라져요 (예: 종이접기는 더 강력).

이 유형 이해 후 무엇이 쉬워지나

→ 작도 절차의 모든 단계가 의미를 가짐

"왜 그 호를 그어야 하는가?"가 보이면 모든 작도가 합동 증명의 시각화로 보여요. 다음 유형(옮기기·이등분선)에서 그 원리가 반복돼요.

이 유형이 어려운 이유

"왜 두 번이나 컴퍼스를 사용해야 하는가?"가 직관적이지 않아요. 한 번에 옮기면 안 될까?

핵심 함정:
① "컴퍼스 벌림 = 길이"라는 사실을 잊고 측정처럼 생각
② 각 옮기기에서 어떤 두 길이가 같아야 하는지 헷갈림

핵심 아이디어 — 컴퍼스가 "같은 길이"를 만드는 도구

길이 옮기기 (3단계)

① 새 직선 위 점 P 잡기
② 컴퍼스를 원본 선분의 양 끝에 맞춰 벌림 (= 그 길이)
③ P에 컴퍼스 꽂아 호 → 직선과 교점 Q. $\overline{PQ}$ = 원본 길이.

컴퍼스 벌림 = 옮길 길이

각 옮기기 (5단계, 컴퍼스 두 번 사용)

① 원본 ∠XOY에서 O 중심 호 → OX, OY와 만나는 A, B
② 새 직선에 점 O' 잡고, 같은 반지름으로 호 → 새 변과 교점 A'
③ 컴퍼스를 AB 길이로 벌리고 A' 중심 호
④ 호와 ②의 호의 교점 B'
⑤ O'와 B'를 자로 잇기 → ∠X'O'B' = ∠XOY

근거: $\overline{OA} = \overline{O'A'}, \overline{OB} = \overline{O'B'}, \overline{AB} = \overline{A'B'}$ → SSS 합동 → ∠O = ∠O'

자주 하는 실수

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각 옮기기에서 컴퍼스 반지름을 도중에 바꿈

②와 ①의 반지름이 같아야 OA=O'A'. 도중에 바꾸면 합동이 깨져요.

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"각도를 잰다"는 표현 사용

작도 절차에서는 "각의 크기를 잰다"고 쓰면 X. "두 점 사이 거리(현)를 옮긴다"가 정확한 표현.

추가 문제 (점진적 난이도)

PROBLEM 1 (L)

선분 옮기기와 각 옮기기에서 공통적으로 사용하는 도구의 핵심 성질은?

"컴퍼스 벌림이 곧 길이" — 이 한 가지 성질이 두 작도 모두의 근거.
선분 옮기기: 원본 선분 길이 → 새 위치 그대로
각 옮기기: 원본 호의 두 점 사이 거리 → 새 호 위 같은 거리 → 같은 각.

PROBLEM 2 (M)

∠AOB와 같은 각을 옮긴 후 그 각의 두 변에서 컴퍼스로 길이 옮기기를 적용하면 어떤 도형을 만들 수 있을까? 예시 도형 1개.

합동인 삼각형
∠AOB와 같은 각 옮긴 후 두 변의 길이를 OA, OB와 같게 옮기면, 새 각의 두 끝점 사이 거리도 AB와 같음.
→ 삼각형 OAB와 합동인 삼각형 작도 (SAS).
→ SAS 작도가 바로 이 절차예요. 합동의 작도 버전.

PROBLEM 3 (H)

"각 옮기기"의 SSS 합동 근거를 자세히 쓰시오. 어떤 두 삼각형이 합동인가?

삼각형 OAB와 O'A'B' (양 끝점 + 호 위 점)
$\overline{OA} = \overline{O'A'}$ (① 호와 ② 호의 같은 반지름)
$\overline{OB} = \overline{O'B'}$ (역시 같은 반지름)
$\overline{AB} = \overline{A'B'}$ (③ 컴퍼스로 같은 길이 옮김)
→ SSS 합동 → ∠O = ∠O' (대응각)
→ 작도의 정확성은 합동 정리에서 나와요. 작도와 합동은 한 몸.

이 유형 이해 후 무엇이 쉬워지나

→ 모든 기본 작도(이등분선·삼각형 작도)가 자연스러워짐

수직이등분선·각의 이등분선·SAS 삼각형 작도 모두 "같은 길이 만들기"의 응용이에요. 컴퍼스 벌림 = 길이라는 개념이 단단하면 다음 유형이 쉬워요.