개념 1 / 6
점·선·면 — 도형의 가장 작은 재료
유클리드는 도형을 3가지 기본 요소로 나눴어요.
점이 모이면 선, 선이 모이면 면이 돼요.
교점과 교선
• 교점: 두 직선이 만나서 생기는 점
• 교선: 두 평면이 만나서 생기는 선
입체도형의 이름
입체도형은 면으로 둘러싸여 있어요.
• 면이 만나면 → 모서리 (선)
• 모서리가 만나면 → 꼭짓점 (점)
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개념 2 / 6
직선·반직선·선분 — 끝이 어디까지?
두 점이 있을 때, 그 둘을 잇는 방법은 3가지가 있어요.
어디까지 뻗는가에 따라 이름이 달라져요.
| 이름 | 표기 | 끝 |
|---|
| 직선 | $\overleftrightarrow{AB}$ | 양쪽 무한 |
| 반직선 | $\overrightarrow{AB}$ | 한쪽만 무한 |
| 선분 | $\overline{AB}$ | 둘 다 끝 있음 |
★ 함정 1: $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}$
A에서 시작하느냐 B에서 시작하느냐에 따라 방향이 달라요. 같은 도형이 아니에요!
(반면) $\overline{AB} = \overline{BA}$ — 선분은 방향이 없으니 같아요.
$\overleftrightarrow{AB} = \overleftrightarrow{BA}$ — 직선도 방향 없이 같아요.
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개념 3 / 6
각의 정의와 종류
각은 한 점에서 나온 두 반직선이 이루는 도형이에요.
표기 약속: $\angle AOB$ 또는 $\angle O$
중요! 가운데 글자(O)가 꼭짓점이에요. (O점에서 두 반직선이 나와요)
슬라이더로 각도를 바꿔보세요. 어느 종류의 각이 되는지 자동으로 알려줄게요.
| 이름 | 크기 | 예 |
|---|
| 예각 | $0° < \angle < 90°$ | 30°, 60° |
| 직각 | $= 90°$ | 90° |
| 둔각 | $90° < \angle < 180°$ | 120°, 150° |
| 평각 | $= 180°$ | 180° |
| 우각 | $180° < \angle < 360°$ | 270° |
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개념 4 / 6
맞꼭지각 — 두 직선이 만나면
두 직선이 한 점에서 만나면 4개의 각이 생겨요.
그 중 마주보는 두 각을 맞꼭지각이라고 해요.
★ 핵심 성질
맞꼭지각은 서로 같다.
그리고 이웃한 두 각의 합은 평각이에요. (180°)
슬라이더로 한 직선의 기울기를 바꿔보세요. 4개 각이 어떻게 변하는지 봐요.
함께 생각해 봐요
가운데 각을 60°로 바꾸면 마주보는 각도 60°예요.
그러면 양옆의 두 각은? 180° − 60° = 120°씩이에요.
4개 각의 합은 항상 360°예요. (한 바퀴)
직교 (perpendicular): 두 직선이 만나서 이루는 각이 90°일 때.
기호: $l \perp m$. (모든 4개 각이 90°가 돼요)
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개념 5 / 6
평행선과 동위각·엇각 ★
평행은 같은 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때예요.
기호: $l \parallel m$.
두 직선이 다른 한 직선과 만나면 8개의 각이 생겨요.
그 중 위치 관계에 따라 이름이 있어요.
| 이름 | 위치 | 예시 쌍 |
|---|
| 동위각 | 같은 위치 (위↔위, 아래↔아래) | (a, e), (b, f), (c, g), (d, h) |
| 엇각 | 엇갈린 위치 (대각선) | (c, f), (d, e) |
★ 핵심 성질
$l \parallel m$ 일 때만:
• 동위각이 같다 (a = e, b = f, ...)
• 엇각이 같다 (c = f, d = e)
반대로, 동위각이나 엇각이 같으면 → 두 직선은 평행이에요.
★ 함정 2: 평행이 아닌 두 직선에서도 동위각·엇각이라는 이름은 붙어요!
하지만 크기가 같지는 않아요. "이름"과 "크기 같음"을 헷갈리지 않기.
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개념 6 / 6
평면과 공간의 위치 관계
두 직선의 관계는 어디에 있느냐에 따라 달라져요.
평면(2차원)에서는 3가지, 공간(3차원)에서는 한 가지가 더 늘어요.
평면에서 두 직선
| 관계 | 설명 | 예 |
|---|
| 한 점에서 만남 | 교점 1개 | + |
| 평행 | 만나지 않음 | = |
| 일치 | 완전히 겹침 | 겹친 두 직선 |
공간에서 두 직선 ★
| 관계 | 설명 |
|---|
| 한 점에서 만남 | 교점 1개 |
| 평행 | 같은 평면 위, 만나지 않음 |
| 꼬인 위치 | 같은 평면 위에 없음 (3차원에만 있음!) |
직육면체에서 모서리들의 관계를 직접 확인해 봐요:
위 그림의 빨강 vs 초록 모서리
• 빨강: $\overline{AB}$ (앞면 위)
• 초록: $\overline{FG}$ (뒷면 오른쪽 세로)
두 모서리는 만나지도 않고, 같은 평면에도 없어요.
→ 이게 바로 꼬인 위치(skew)예요. 평면에는 없는, 공간에만 있는 관계!
직선과 평면, 두 평면
| 대상 | 관계 |
|---|
| 직선과 평면 | 직선이 평면에 포함 / 한 점에서 만남 / 평행 |
| 두 평면 | 교선에서 만남 / 평행 / 일치 |
✏️ 직접 써보기
집에서 직육면체(휴지통, 책 등)를 하나 골라보세요. 그것의 모서리 중 꼬인 위치인 두 모서리를 한 쌍 찾아 적어 보세요.