유형 07 · H2 · 1/5
일의 양 — 사람 수와 시간
사람 수가 늘면 걸리는 시간이 줄어든다. 이것이 반비례!
정비례 $y = ax$ | 반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ |
비례상수 $a$ | 반비례 관계 $xy = a$
어떤 일을 12명이 하면 6시간이 걸린다.
$x$명이 $y$시간 걸릴 때,
(1) $y$를 $x$의 식으로 나타내어라.
(2) 8명이 하면 몇 시간 걸리는가?
(3) 4시간 안에 끝내려면 몇 명이 필요한가?
유형 07 · H2 · 2/5
일의 총량 = 비례상수
사람 수 × 시간 = 총 일의 양. 이 값이 항상 일정하면 반비례!
1
총 일의 양 = $12 \times 6 = 72$ (사람·시간)
2
$x$명이 $y$시간 걸리면: $xy = 72$
3
$y$에 대해 풀면:
$$y = \frac{72}{x}$$
$xy = 72$ → 반비례 관계!
비례상수 $a = 72$ = 총 일의 양
유형 07 · H2 · 3/5
(2) 8명이 하면 몇 시간?
y = 72/x에 x=8 대입
1
$y = \dfrac{72}{x}$에 $x = 8$ 대입:
$$y = \frac{72}{8} = 9$$
12명 → 6시간, 8명 → 9시간
사람이 줄었으니 시간이 늘어난다 (반비례 확인!)
유형 07 · H2 · 4/5
(3) 4시간 안에 끝내려면?
이번엔 y=4를 대입해서 x를 구한다.
1
$y = \dfrac{72}{x}$에 $y = 4$ 대입:
$$4 = \frac{72}{x}$$
2
$x$에 대해 풀기:
$$x = \frac{72}{4} = 18$$
반비례에서 "x를 구할 때"는 $y = \dfrac{a}{x}$를 변형해서
$x = \dfrac{a}{y}$로 계산하거나, $xy = a$에서 바로 구한다.
$x = \dfrac{72}{4} = 18$ ← 간단!
유형 07 · H2 · ★ 정리
★ 최종 답 & 핵심 정리
(1) $12 \times 6 = 72$ → $y = \dfrac{72}{x}$
(2) $x=8$ → $y = 9$시간
(3) $y=4$ → $x = 18$명
일의 양 반비례 공식
$$(\text{사람 수}) \times (\text{시간}) = \text{총 일의 양} = a$$
$$\Rightarrow\quad xy = a \quad\Rightarrow\quad y = \frac{a}{x} \quad \text{(반비례!)}$$
이 원리는 일상 곳곳에!
• 속력 $\times$ 시간 = 거리 (거리 고정 → 속력·시간 반비례)
• 압력 $\times$ 부피 = 일정 (보일의 법칙)
• 전압 $\times$ 전류 = 전력 (전력 고정 → 반비례)