유형 07 H1 — 톱니바퀴 비례식

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톱니바퀴 A, B의 회전수

맞물린 톱니바퀴는 "이동한 톱니 수"가 같다. 이 관계를 식으로 나타내면 정비례가 된다.

정비례 $y = ax$ | 반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ | 비례상수 $a$ | 반비례 관계 $xy = a$

톱니바퀴 A는 톱니가 18개, B는 30개이다.
A가 $x$바퀴 돌 때 B가 $y$바퀴 돌면,
(1) $y$를 $x$의 식으로 나타내어라.
(2) A가 10바퀴 돌 때 B는 몇 바퀴 도는가?

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맞물린 톱니바퀴의 핵심 원리

두 톱니바퀴가 맞물리면 이동한 톱니 수가 항상 같다.

1

A가 $x$바퀴 → A의 이동 톱니 수: $18x$
B가 $y$바퀴 → B의 이동 톱니 수: $30y$

2

이동 톱니 수가 같으므로:
$$18x = 30y$$

3

$y$에 대해 풀기:
$$y = \frac{18}{30}x = \frac{3}{5}x$$

$y = \dfrac{3}{5}x$ — 이것이 정비례!
A가 많이 돌수록 B도 많이 돈다 → 정비례 관계
비례상수 $a = \dfrac{3}{5}$ (A의 톱니 수 / B의 톱니 수)

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x=10 대입하기

구한 식에 A의 회전수를 대입해서 B의 회전수를 계산한다.

1

$y = \dfrac{3}{5}x$에 $x = 10$ 대입:
$$y = \frac{3}{5} \times 10 = 6$$

2

B는 6바퀴 돈다.

톱니가 많은 B(30개)가 적은 A(18개)보다 더 적게 돈다.
A 10바퀴 → B 6바퀴 (합리적인 답!)

유형 07 · H1 · ★ 정리

★ 최종 답 & 핵심 정리

(1) $18x = 30y$ → $y = \dfrac{3}{5}x$

(2) A가 10바퀴 → B는 6바퀴

톱니바퀴 공식
톱니 수 $\times$ 회전수 = 일정 (이동한 톱니 수)
$$(\text{A 톱니}) \times x = (\text{B 톱니}) \times y$$ $$\Rightarrow\quad y = \frac{\text{A 톱니}}{\text{B 톱니}} \cdot x \quad \text{(정비례!)}$$

톱니가 많을수록 → 같은 거리에 덜 돈다 (느리게 회전)
이것이 자전거 기어의 원리!

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