깊이 탐구 — 정비례 (식·그래프·비례상수)

이 유형이 어려운 이유

"정비례"라는 말은 익숙하지만, 일상의 관계를 보고 그게 정비례인지 아닌지 판별하는 게 쉽지 않아요.

핵심 함정 두 가지:
① 단순한 덧셈 관계 ($y = x + 5$) 도 정비례로 착각
② 표를 보고 정비례인지 확인 못 함

핵심 아이디어 — 두 가지 신호

① 식의 모양: $y = ax$ ($a \neq 0$)

정비례 식의 형태는 항상 이거예요. 추가 상수항도 안 되고 ($y = ax + b$ 같은 건 정비례 X), $x$가 분모에 있어도 안 돼요 ($y = a/x$ 는 반비례).

$y = ax$ ($a \neq 0$)

② 표의 모양: $\dfrac{y}{x}$ 일정

표가 주어졌을 때, $\dfrac{y}{x}$ 값을 모든 짝에서 계산. 모두 같으면 정비례.

$x$	1	2	3	4
$y$	3	6	9	12
$y/x$	3	3	3	3

$y/x = 3$ 모두 같음 → 정비례 → 식 $y = 3x$.

일상 관계 → 정비례 판별 체크리스트

$x$가 0이면 $y$도 0인가?
$x$가 2배 되면 $y$도 2배 되는가?
두 양 사이에 곱셈 비율 하나로 표현되는가?

세 질문 모두 "예" → 정비례. 비례상수 = $y/x$ 값 (또는 1단위에서 $y$ 값).

자주 하는 실수

⚠️

상수항을 정비례에 포함

"공책 한 권 1500원, 주문할 때 배송비 3000원" → $y = 1500x + 3000$ 은 정비례 X.
배송비 같은 고정값이 있으면 정비례가 아니에요.

🤔

$y/x$가 아니라 $y - x$를 비교

정비례는 비율이 일정. 차가 아니라 나눗셈이에요.

추가 문제 (3문제)

PROBLEM 1

$y$가 $x$에 정비례하고 $x = 6$일 때 $y = -18$이다. 식과 $x = -4$일 때 $y$값은?

$-18 = 6a \Rightarrow a = -3$. 식 $y = -3x$.
$x = -4$: $y = (-3)(-4) = 12$.

PROBLEM 2

자전거 1분에 250 m를 간다. $x$분 동안 간 거리를 $y$ m라 할 때 식과, 1.5 km 가는 데 걸리는 시간은?

$y = 250x$ (정비례).
1.5 km = 1500 m. $1500 = 250x \Rightarrow x = 6$ 분.

PROBLEM 3

표를 보고 $y$가 $x$에 정비례인지 판별하고 식을 구하시오.
($x, y$): $(2, -8)$, $(-3, 12)$, $(5, -20)$

$y/x$: $-8/2 = -4$, $12/(-3) = -4$, $-20/5 = -4$ → 모두 $-4$ → 정비례.
식 $y = -4x$.

이 유형 이해하면…

정비례 식을 자유자재로 세우면 유형 2 (정비례 그래프)가 자연스럽게 따라와요. $a$의 부호·크기만 보면 그래프 모양을 알 수 있죠.
또한 단원 4 (일차방정식) 의 식 세우기 능력이 여기서 강화돼요.

이 유형이 어려운 이유

식만 보고 그래프 모양 (사분면, 가팔기) 을 떠올리는 게 처음엔 어려워요. 하지만 패턴 4가지만 외우면 끝이에요.

핵심 아이디어 — 4가지 패턴

$a$ 부호와 그래프 위치

$a$ 부호	지나는 사분면	방향
$a > 0$	제1·3사분면	오른쪽 위로 →↗
$a < 0$	제2·4사분면	오른쪽 아래로 →↘

정비례 그래프는 항상 원점을 지나는 직선. 사분면 위치는 $a$ 부호로만 결정.

$|a|$ 크기와 가팔기

$|a|$가 클수록 그래프가 $y$축에 더 가까워져요 (가팔어짐).

$|a|$ 클수록 가파름

예: $y = 2x$ vs $y = 5x$ → 둘 다 1·3사분면이지만 $y = 5x$가 더 가파름.

그래프 그리는 방법

① 원점 $(0, 0)$ 표시
② 식에 $x = 1$ 대입해서 $(1, a)$ 점 찾기
③ 두 점을 직선으로 연결, 양쪽으로 무한히 연장

자주 하는 실수

😵

$a$의 부호와 사분면 매칭 헷갈림

$y = -2x$ → 1·3사분면이라고 적기. $a < 0$이면 2·4사분면!
한 번 외우고 매번 머릿속에서 "$a$부호 → 사분면" 거꾸로 확인.

🤨

"가팔기"와 "기울기"의 부호 혼동

가팔기는 $|a|$로 결정 (부호 무관). $a = -5$의 직선은 $a = 2$의 직선보다 더 가파름 (5 > 2).

추가 문제 (3문제)

PROBLEM 1

$y = 4x$의 그래프 위에 있는 점을 모두 고르시오. (가) $(0, 0)$ (나) $(1, 4)$ (다) $(-2, 8)$ (라) $(3, 12)$

각 점 식에 대입:
(가) $0 = 4 \times 0$ ✓
(나) $4 = 4 \times 1$ ✓
(다) $8 \neq 4 \times (-2) = -8$ X
(라) $12 = 4 \times 3$ ✓
정답: (가), (나), (라).

PROBLEM 2

아래 네 식 중 그래프가 가장 완만한 것은? $y = 7x$, $y = -2x$, $y = \dfrac{x}{4}$, $y = -3x$

$|a|$ 값: $7, 2, 1/4, 3$. 가장 작은 것 → $|1/4| = 1/4$ → $y = \dfrac{x}{4}$가 가장 완만.

PROBLEM 3

$y = ax$의 그래프가 점 $(-2, 8)$을 지난다. 이 그래프는 어느 사분면을 지나는가?

$8 = -2a \Rightarrow a = -4 < 0$ → 제2·4사분면.

이 유형 이해하면…

그래프 모양을 머릿속에 떠올릴 수 있게 돼요. 이 능력은 중2의 일차함수, 중3의 이차함수까지 평생 사용해요.

이 유형이 어려운 이유

"한 점이 주어진다 → 식을 결정한다"는 흐름이 처음엔 추상적이에요. 하지만 패턴은 단순해요.

핵심 아이디어 — 단계 3개

정비례 비례상수 결정

① 정비례 식 형태 가정: $y = ax$
② 주어진 점 $(x_0, y_0)$ 대입: $y_0 = a \cdot x_0$
③ $a = \dfrac{y_0}{x_0}$ 계산

기억할 한 줄: "한 점 알면 $a = y/x$". 그러면 식은 $y = (y_0/x_0) x$.

다른 점 좌표 구하기

식을 결정한 다음엔, 다른 $x$ 값을 식에 대입해 $y$값을 구하거나, 주어진 $y$값을 식에 대입해 $x$값을 구해요.

자주 하는 실수

😵

$a = x/y$ 거꾸로 계산

정비례에서 $\dfrac{y}{x} = a$. $\dfrac{x}{y}$ 가 아님.

⚠️

부호 무시

$x = -3$, $y = 12$ 일 때 $a = -4$이지 $4$가 아님. 부호를 끝까지 따져요.

추가 문제 (3문제)

PROBLEM 1

$y$가 $x$에 정비례하고 $x = -2$일 때 $y = 10$이다. $x = 7$일 때 $y$값은?

$10 = -2a \Rightarrow a = -5$. 식 $y = -5x$.
$x = 7$: $y = -5 \times 7 = -35$.

PROBLEM 2

정비례 그래프가 점 $(\dfrac{2}{3}, 6)$을 지난다. 식과 $x = -1$일 때 $y$값을 구하시오.

$6 = \dfrac{2}{3} a \Rightarrow a = 6 \times \dfrac{3}{2} = 9$. 식 $y = 9x$.
$x = -1$: $y = -9$.

PROBLEM 3

$y$가 $x$에 정비례. $x$ 변화량 5, $y$ 변화량 -15. $a$의 값과 식?

변화량 비도 $a$ 와 같음: $a = -15/5 = -3$. 식 $y = -3x$.

이 유형 이해하면…

"한 점 → 식" 패턴은 단원 6 전반의 핵심. 반비례에서도 동일 (단, $a = xy$).
나아가 중2 일차함수에서 "두 점 → 직선의 식"으로 확장돼요.