깊이 탐구 — 방정식 활용

이 유형이 어려운 이유

방정식을 푸는 것은 할 수 있는데, 방정식을 세우는 것이 어려워요.

핵심은 "무엇을 $x$로 놓을까?"와 "어떤 관계식을 쓸까?" 두 가지예요.

활용 유형별 핵심 관계식

🔢

수 관계

연속하는 두 수: $x$, $x+1$

연속 홀수/짝수: $x$, $x+2$

👤

나이 문제

$n$년 후: 현재+$n$

$n$년 전: 현재$-n$

🚗

거리·속력·시간

거리 = 속력 × 시간

만날 때: 거리의 합 또는 차가 0

🛒

개수·금액

금액 = 단가 × 개수

합계로 등식 세우기

🧂

농도 문제

소금 = 농도 × 소금물

섞을 때: 소금의 합 이용

📐

도형

둘레·넓이 공식 이용

가로, 세로를 $x$로 설정

핵심 전략 — 4단계 체계

1

구하는 것을 $x$로 설정: 문제에서 "구하시오"를 찾아요. "어떤 수를 $x$라 하면"

2

수량 관계를 등식으로: 위 표의 공식을 사용해 $x$가 포함된 등식 세우기.

3

방정식 풀기: 이항 → 동류항 → 계수로 나누기.

4

검토: 구한 $x$가 조건에 맞는지 확인 (자연수여야 하는 경우 등).

자주 하는 실수

❌

단위를 통일하지 않음

거리·속력·시간 문제에서 시간은 시간 단위, 속력은 km/h로 일치시켜야 해요. 분과 시간을 섞으면 식이 틀려요.

❌

검토를 건너뜀

풀이는 맞아도 $x$가 자연수여야 하는 문제에서 분수가 나오면 오류예요. 반드시 문제 조건과 대조해요.

❌

농도 문제에서 소금물의 양 변화를 빠뜨림

소금 $x$g을 추가하면 소금물도 $(기존+x)$g로 늘어요. 소금물의 양을 바꾸지 않는 실수가 흔해요.

❌

구하려는 것과 $x$가 다름

문제는 "큰 수"를 구하는데, $x$는 "작은 수"로 설정하면 마지막에 $x+1$이나 $x+2$ 등을 추가로 계산해야 해요. 처음부터 구하는 것을 $x$로 설정하면 편해요.

추가 문제 (5-c와 겹치지 않음)

문제 1 — 나이 문제

현재 엄마의 나이는 38세이고, 아들의 나이는 8세입니다. 엄마의 나이가 아들의 나이의 3배가 되는 것은 몇 년 후인가요?

방정식 세우기

$x$년 후: 엄마 $(38+x)$, 아들 $(8+x)$
$38+x=3(8+x)$

풀기

$38+x=24+3x$
$-2x=-14$, $x=7$

검토

7년 후: 엄마 45세, 아들 15세
$45=3 \times 15$ ✓

문제 2 — 거리·속력·시간

집에서 학교까지 시속 4km로 걸으면 30분이 걸립니다. 시속 6km로 뛰어가면 몇 분이 걸리나요?

거리 계산

거리 = $4 \times \frac{30}{60} = 4 \times 0.5 = 2$km

방정식 세우기

시속 6km로 2km 가는 시간 = $t$시간
$6t=2$, $t=\dfrac{1}{3}$시간 = 20분

검토

$6 \times \frac{1}{3}=2$km ✓

방정식 없이 풀 수 있어 보여도, 시험에서는 방정식 풀이 형식으로 작성해요!

문제 3 — 농도 문제

소금이 18g 녹아 있는 소금물 200g에 물을 더 넣어 6%의 소금물을 만들려고 합니다. 물을 몇 g 더 넣어야 하나요?

방정식 세우기

물 $x$g 추가 → 소금물 $(200+x)$g, 소금 18g 그대로
$\dfrac{18}{200+x}=0.06$

풀기

$18=0.06(200+x)$
$18=12+0.06x$
$0.06x=6$, $x=100$

검토

$\dfrac{18}{300}=0.06=6\%$ ✓

물을 추가하면 소금물의 양만 늘고, 소금의 양은 그대로예요!

문제 4 — 복합 활용

어떤 일을 A가 혼자 하면 10일, B가 혼자 하면 15일이 걸립니다. 둘이 함께 하면 며칠이 걸리나요?

하루 일의 양

A: $\frac{1}{10}$, B: $\frac{1}{15}$, 함께: $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$

방정식 세우기

$x$일이 걸린다면: $\frac{x}{10}+\frac{x}{15}=1$

풀기

양변 × 30: $3x+2x=30$
$5x=30$, $x=6$

검토

$\frac{6}{10}+\frac{6}{15}=0.6+0.4=1$ ✓

연결 개념

활용 문제를 잘 하면 쉬워지는 것

연립방정식 활용 (중2): 두 개의 미지수를 동시에 구하는 더 복잡한 활용 문제예요. 이 4단계 틀이 그대로 적용돼요.
함수 활용 (중1~2): "속력"이나 "비율" 문제가 함수와 연결돼요.
비율·비례식 (중2): 농도·이율 등이 비례식으로 표현될 때 이 방법이 기초가 돼요.