깊이 탐구 — 복잡한 방정식 (괄호+분수 복합)

이 유형이 어려운 이유

괄호와 분수가 동시에 나와요. 처리 순서를 모르면 계속 틀려요.

또한 분수 안에 괄호가 있거나, LCM을 곱할 때 괄호를 빠뜨리는 실수가 많아요.

핵심 아이디어 — 처리 순서

1

분수 제거 먼저: LCM을 양변에 곱해요. 분수 안의 괄호는 그대로 유지.

2

괄호 전개: 분배법칙으로 모든 괄호를 풀어요.

3

이항 + 동류항: $x$항 좌변, 숫자 우변으로.

4

계수로 나누기: $x = ?$ 꼴로 만들어요.

5

검산: 원래 식에 대입해 확인.

예제 단계별 풀이

$$\frac{x-1}{2} - \frac{x+2}{3} = 1$$

        단계 1: LCM(2,3) = 6. 양변에 6을 곱하면:

        $6 \cdot \dfrac{x-1}{2} - 6 \cdot \dfrac{x+2}{3} = 6$

        $3(x-1) - 2(x+2) = 6$

        단계 2: 괄호 전개:

        $3x - 3 - 2x - 4 = 6$

        $x - 7 = 6$

        단계 3~4: 이항 + 정리:

        $x = 13$

검산: $\dfrac{12}{2} - \dfrac{15}{3} = 6 - 5 = 1$ ✓

자주 하는 실수

❌

LCM 곱할 때 괄호 전체에 적용 안 함

$\frac{x-1}{2}$에 ×6 적용: $3(x-1)$ (맞음)
하지만 $3x-1$로 쓰는 실수! → $3x-3$이어야 해요.

❌

$-\frac{x+2}{3}$에서 부호 실수

×6하면 $-2(x+2)=-2x-4$ (맞음)
$-2x+4$로 쓰는 실수가 자주 발생해요!

❌

LCM을 최소공배수가 아닌 공배수로 선택

분모가 2, 3, 6이면 LCM = 6이에요. 12나 24를 써도 되지만, 숫자가 커져서 실수가 늘어요. 최소공배수를 사용하는 습관!

추가 문제 (5-c와 겹치지 않음)

문제 1

$\dfrac{2x+1}{3} + \dfrac{x-2}{6} = 2$를 풀어라.

LCM = 6. 양변 × 6:
$2(2x+1)+(x-2)=12$
$4x+2+x-2=12$
$5x=12$, $x=\dfrac{12}{5}$
검산: $\frac{2(12/5)+1}{3}+\frac{12/5-2}{6}=\frac{29/5}{3}+\frac{2/5}{6}=\frac{29}{15}+\frac{1}{15}=\frac{30}{15}=2$ ✓

문제 2

$\dfrac{x+3}{4} - \dfrac{2x-1}{3} = -\dfrac{1}{2}$를 풀어라.

LCM(4,3,2) = 12. 양변 × 12:
$3(x+3)-4(2x-1)=-6$
$3x+9-8x+4=-6$
$-5x+13=-6$
$-5x=-19$, $x=\dfrac{19}{5}$
검산: $\frac{19/5+3}{4}-\frac{2(19/5)-1}{3}=\frac{34/5}{4}-\frac{33/5}{3}=\frac{17}{10}-\frac{11}{5}=\frac{17}{10}-\frac{22}{10}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}$ ✓

문제 3

방정식 $\dfrac{ax+1}{2} = \dfrac{3x-2}{4}$의 해가 $x = 2$일 때, $a$의 값을 구하세요.

$x=2$ 대입: $\dfrac{2a+1}{2}=\dfrac{4}{4}=1$
$2a+1=2$, $a=\dfrac{1}{2}$
확인: $\frac{1+1}{2}=1$, $\frac{6-2}{4}=1$ ✓

연결 개념

복잡한 방정식을 마스터하면 쉬워지는 것

연립방정식 (중2): 두 방정식이 각각 이 형태일 수 있어요. LCM 처리가 자동으로 돼야 해요.
이차방정식 (중3): 더 복잡한 식에서도 LCM으로 분수를 없애는 전략은 동일해요.
방정식 활용 (유형 7) 고급: 활용에서 나온 식이 이 형태인 경우가 많아요.