개념 탐구 — 일차방정식

등식이란?

등호 =를 사용하여 두 식이 같음을 나타낸 식을 등식이라고 해요.

= (등호) — "왼쪽과 오른쪽이 같다"는 뜻이에요. 수학에서 가장 중요한 기호 중 하나예요.

종류	뜻	예
방정식	특정 값일 때만 참이 되는 등식	$x + 3 = 5$ $x=2$일 때만 참
항등식	어떤 값을 넣어도 항상 참인 등식	$2(x+1) = 2x+2$ 모든 $x$에 대해 참

핵심 용어

미지수: 값을 모르는 문자 (보통 $x$)
해(solution): 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값
풀다(solve): 해를 구하는 것

$x + 3 = 5$ — 해가 $x = 2$인 이유

        $x = 2$ 대입: 좌변 $= 2 + 3 = 5$, 우변 $= 5$ → 같으면 해!

        $x = 1$ 대입: 좌변 $= 1 + 3 = 4$, 우변 $= 5$ → 다르면 해가 아님.

자주 하는 실수: "$x = 2$는 항상 맞는 답이겠지?"라고 생각하는 것. 방정식마다 해가 달라요!

방정식은 저울이에요

등식은 양쪽이 균형 잡힌 저울과 같아요. 양쪽에 같은 것을 더하거나 빼도 균형이 유지돼요.

$x + 3 = 7$ — 양쪽이 균형 잡힌 저울

등식의 4가지 성질

성질	표현
덧셈	$a=b$ 이면 $a+c = b+c$
뺄셈	$a=b$ 이면 $a-c = b-c$
곱셈	$a=b$ 이면 $a \times c = b \times c$
나눗셈	$a=b$ 이면 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$ (단, $c \neq 0$)

$c \neq 0$ 조건 — 나눗셈에서 0으로 나누면 안 돼요. "0으로 나눈다"는 것은 수학에서 정의되지 않아요.

이항이란?

등식의 한 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항(transposition)이라고 해요.

        이항은 등식의 성질(덧셈·뺄셈)을 이용해요.

        양변에서 같은 수를 빼면, 한쪽 항이 반대편으로 "부호가 바뀌어" 이동하는 것처럼 보여요.

이항 시각화

$x$ + 3 $= 7$ → 양변에서 3을 빼면

$x + 3 - 3 = 7 - 3$ → 정리하면

$x = 7$ $- 3$ $= 4$

+3이 −3으로 부호 바뀌어 우변으로 이동

자주 하는 실수: 이항할 때 부호를 안 바꾸는 것.
$x + 3 = 7$ → $x = 7 + 3 = 10$ (틀림!) — 반드시 $x = 7 - 3 = 4$

직접 바꿔보세요 — $x + a = b$

$a$ 값: 3

$b$ 값: 7

$$x + 3 = 7$$

$x = 7 - 3 = 4$

$a$와 $b$를 바꿔보세요. 이항할 때 부호가 어떻게 바뀌는지 관찰해봐요!

일차방정식이란?

$ax + b = 0$ 꼴 (단, $a \neq 0$)로 변형할 수 있는 방정식이에요.

"일차"란 미지수의 최고 차수가 1이라는 뜻이에요. ($x^2$ 없음)

예제: 단계를 클릭해서 펼쳐보세요

$$2x - 3 = x + 5$$

1

이항: $x$항은 좌변, 숫자는 우변으로

$$2x - x = 5 + 3$$

$x$ → 이미 좌변 / $-3$은 우변으로 $+3$이 됨 / $x$는 우변에서 좌변으로 $-x$가 됨

2

동류항 계산

$$x = 8$$

좌변: $2x - x = x$ / 우변: $5 + 3 = 8$

3

검산

$x=8$ 대입: 좌변 $= 2(8) - 3 = 13$, 우변 $= 8 + 5 = 13$ ✓

검산은 귀찮아도 꼭 해야 해요! 시험에서 실수를 잡아주는 안전망이에요.

복잡한 경우 처리 순서

괄호 있으면 → 먼저 분배법칙으로 풀기
분수 있으면 → 양변에 분모의 LCM 곱하기
소수 있으면 → 양변에 10, 100 등 곱하기
그 다음 이항 → 동류항 계산 → 계수로 나누기

활용 문제 푸는 4단계

1

미지수 설정

구하려는 것을 $x$로 놓아요. ("어떤 수를 $x$라 하면…")

2

방정식 세우기

수량 관계를 등식으로 표현해요. (거리=속력×시간, 전체=단가×개수 등)

3

방정식 풀기

이항 → 동류항 → 계수로 나누기

4

검토

구한 $x$가 문제 조건에 맞는지 확인. ($x$가 자연수여야 하는 경우 등)

예제

어떤 수의 2배에서 5를 뺀 것은 어떤 수에 3을 더한 것과 같다. 어떤 수는?

        어떤 수를 $x$라 하면: $2x - 5 = x + 3$

        이항: $2x - x = 3 + 5$

        정리: $x = 8$

        검토: $2(8)-5=11$, $8+3=11$ ✓

직접 써보세요

아래 문제를 방정식으로 풀어보세요.

        "한 개에 500원인 과자와 한 개에 300원인 사탕을 합쳐서 10개 사고 4,200원을 냈다. 과자는 몇 개 샀을까?"
      

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방정식 vs 항등식