문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 핵심:
$\sqrt{x}$가 자연수가 되려면 $x$가 완전제곱수여야 해요. 완전제곱수란 소인수분해했을 때 모든 지수가 짝수인 수.
유형 3 · H3
$\sqrt{252n}$이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $n$을 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
먼저 $252$를 소인수분해해봐요. 어떤 소인수의 지수가 홀수인가요? 그게 단서예요.
1단계 · Page 1
$252$ 소인수분해
왜 이 단계? — 소인수의 지수가 짝수인지 홀수인지 봐야 어떤 $n$이 필요한지 알 수 있어요.
나눗셈 반복
$252 \div 2 = 126$
$126 \div 2 = 63$
$63 \div 3 = 21$
$21 \div 3 = 7$
$7$은 소수 → 종료
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$
지수 살펴보기
각 소인수의 지수:
$2$의 지수: $2$ (짝수) ✅
$3$의 지수: $2$ (짝수) ✅
$7$의 지수: $1$ (홀수) ⚠️
2단계 · Page 2
완전제곱수가 되려면?
왜 이 단계? — 근호 안이 완전제곱수가 되어야 한다는 조건을 지수로 바꿔 생각.
📖 원리:
$\sqrt{p^{2k}} = p^k$ (지수가 짝수면 깔끔하게 나옴). 지수가 홀수면 근호 밖으로 못 나가요.
$252 \times n$의 소인수분해
$\sqrt{252n}$이 자연수가 되려면 $252n$의 모든 소인수 지수가 짝수여야 해요. 지금 $7$의 지수가 $1$로 홀수.
$7$의 지수를 짝수로 만들려면 $n$에 $7$을 한 번 더 곱하면 됩니다.
가장 작은 $n$
$n = 7$이면:
$252 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7^2$
모든 지수가 짝수 → 완전제곱수 ✅
$n$을 $7$보다 더 작게 잡으면 $7$의 지수가 짝수가 안 돼요. 따라서 $n = 7$이 최소.
3단계 · Page 3
검산
왜 이 단계? — 실제로 $\sqrt{252 \times 7}$이 자연수가 되는지 확인.
계산
$252 \times 7 = 1764$
$\sqrt{1764} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 7^2}$
$= 2 \times 3 \times 7 = 42$
자연수 $42$가 나왔어요! ✅
⚠️ 흔한 실수
"$n = 1$이면 $\sqrt{252} \approx 15.87$" — 자연수 아님. "$n = 4$이면 $\sqrt{1008}$" — $7$의 지수가 여전히 홀수라 자연수 아님. 지수가 홀수인 소인수를 짝수로 만들어주는 최소 곱이 답.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심:
$\sqrt{Nn}$ 자연수 ⟺ $Nn$이 완전제곱수 ⟺ 모든 소인수 지수가 짝수
$n = 7$
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ — 소인수분해
2
지수가 홀수인 소인수: $7$ (지수 1) — 이게 문제
3
$n = 7$을 곱하면 $7$의 지수가 $2$가 되어 모두 짝수
4
검산: $\sqrt{252 \times 7} = \sqrt{1764} = 42$ ✅
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
여러 소인수의 지수가 홀수일 수도 있어요! 그땐 모든 홀수 지수 소인수를 한 번씩 곱해야 해요. (예: $\sqrt{12n}$의 경우 $12 = 2^2 \times 3^1$이므로 $n = 3$)