문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 핵심 공식:
$N = p^a \times q^b \times r^c$ 꼴이면 약수의 개수 = $(a+1)(b+1)(c+1)$
유형 3 · H1
$2^3 \times 3^a \times 5$의 약수의 개수가 $24$개일 때, $a$의 값을 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
약수의 개수 공식을 떠올려봐요. 각 소인수의 (지수+1)을 곱하는 거예요. 미지수가 하나 있는 방정식이 만들어질 거예요.
1단계 · Page 1
각 소인수의 지수 정리
왜 이 단계? — 공식에 넣기 위해 각 소인수의 지수를 명확히 파악.
📖 팁:
지수가 안 보이는 소인수(예: $5$)는 사실 지수 1이에요. ($5 = 5^1$)
소인수와 지수
$N = 2^3 \times 3^a \times 5$를 정리하면:
$2$의 지수 = $3$
$3$의 지수 = $a$ (미지수)
$5$의 지수 = $1$ (생략된 경우)
2단계 · Page 2
약수의 개수 공식 적용
왜 이 단계? — 공식에 지수를 대입하면 $a$에 대한 식이 나와요.
📖 공식:
약수의 개수 = (각 지수에 1을 더한 값들의 곱)
식 세우기
약수의 개수 $= (3+1)(a+1)(1+1)$
$= 4 \times (a+1) \times 2$
$= 8(a+1)$
그리고 문제에서 이 값이 $24$라고 했으니:
$8(a+1) = 24$
3단계 · Page 3
방정식 풀기
왜 이 단계? — 간단한 일차 방정식이니 양변을 정리해서 $a$를 구해요.
풀이
$8(a+1) = 24$
양변을 $8$로 나누면: $a + 1 = 3$
$a = 2$
검산
$a = 2$를 대입하면:
$N = 2^3 \times 3^2 \times 5$
약수의 개수 $= (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ ✅
⚠️ 흔한 실수
"$5$의 지수는 안 보이니까 $0$" — 아니에요! 안 보이면 $1$입니다. 만약 진짜 없으면 식에서 빠져 있어야 해요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 공식:
$N = p^a \times q^b \times r^c$ → 약수의 개수 $= (a+1)(b+1)(c+1)$
$a = 2$
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
각 소인수의 지수 확인: $2^3, 3^a, 5^1$
2
약수의 개수 공식: $(3+1)(a+1)(1+1) = 8(a+1)$
3
$8(a+1) = 24$ → $a+1 = 3$ → $a = 2$
4
검산: $2^3 \times 3^2 \times 5$의 약수 개수 $= 4 \times 3 \times 2 = 24$ ✅
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
지수가 표기되지 않은 소인수의 지수는 $1$! $(0+1)$이 아니라 $(1+1) = 2$를 곱해야 해요.